Zeno, MÖ 495 civarında güney İtalya’daki Yunan Elea kolonisinde doğdu. Onun hakkında çok az şey biliniyor. O Orada genç bir Sokrates bir araya geldi ve bir gösterimin yeterince Platon’un kitaplarından birinde bir karakter olarak dahil edilecek yapılan filozof Parmenides’in öğrencisiydi ve 449 M.Ö. Atina’ya bir gezi hocasına eşlik etti.

Elea’ya döndüğünde siyasette aktif oldu ve nihayet kentin tiran Nearchus’una karşı bir komploda yer aldığı için tutuklandı. Komplodaki rolü nedeniyle ölümüne işkence gördü. Sorgulanmasıyla ilgili birçok hikaye ortaya çıktı.

Bir fıkra, kaptanları, diğer komplocuları ortaya çıkarması için onu zorlamaya çalıştığında, tiranın arkadaşlarını seçtiğini iddia eder.

Diğer öyküler, dilini ısırıp, zorbaya tükürdüğünü veya Nearchus’un kulağını veya burnunu ısırdığını belirtiyor.

Zeno’nun kendi kendini yetiştirmiş bir köylü çocuğu olduğu söylenir.

Zeno, hıyanet veya ona yakın bir suç ile başı kesilerek öldürülmüştür.

Diogenes Laertos’a göre, Zeno doğduğu şehrin tiranı tarafından işkence ile öldürüldü.

Zeno, varlığın birliğini kabul ettirmek için, haklı olarak ün yapmış kanıtlarıyla, hareketin olanaksızlığını göstermeye çalıştı.

Zeno’nun paradoksları üzerine her çağın en büyük bilginleri kafa yormuşlardır. Olmayan ergi yöntemi çok erken bir tarihte bu paradokslara parlak bir biçimde uygulanmıştır.

Başlıca eserleri, ”Tabiat Üstüne”, ”Karşı Fikirler” ve Emperdokles üstüne eleştirili bir “Yorumlama” dır.

• Zenon muhteşem zekasıyla -ki Platon onu diyalektik imgelem gücü nedeniyle Elealı Palamedes diye tanımlar- hocasının savlarını pekiştirecektir. Bunu yaparken kendi geliştirdiği dolaylı argümanlarla örülü bir diyalektik kuracaktır.
• Zenon’un alameti farikası felsefeye kattığı diyalektik akıl yürütme yöntemidir.

1. Aristoteles’e göre diyalektik: muhtemel veya akla yakın, çoğunluk tarafından kabul edilen öncüllerden hareketle, yine akla yatkın, ikna edici gibi görünen sonuçlara, yani dar anlamda bilimsel olmayan sonuçlara varan bir akıl yürütmedir.
2. Bilimsel akıl yürütme olan apodiktik akıl yürütmenin altında olan diyalektik, kesin olarak bilimsel değeri olmayan, aldatıcı olarak doğruymuş gibi görünen sofistik akıl yürütmelerdir.
3. Diyalektikte kullanılan önermeler bilimsel değil, yalnızca tartışmayı mümkün kılan, yaygın olarak kabul edilen kabullerle gerçekleşir.
4. Diyalektiğin faydası bilimsel olarak kanıtlanması mümkün olmayan bazı şeyleri dolaylı olarak kanıtlamaya yaramasıdır. Örneğin özdeşlik ilkesi böyle bir kanıtlamaya ihtiyaç duyar.
5. Bu doğrudan kanıtlanamaz çünkü herhangi bir ilkenin kanıtlanması zaten bu ilkeye dayanır.
6. Özdeşlik ilkesinin kanıtlanması mümkün değildir, özdeşlik ilkesi sayesinde herhangi bir kanıtlama yapılabilir.
7. Özdeşlik ilkesi, bu ilkeyi kabul etmeyen insanların görüşlerinin yanlışlığı veya saçmalığı gösterilerek dolaylı olarak kanıtlanabilir. Bu “saçmaya indirgeme” yoluyla dolaylı kanıtlama veya dolaylı çürütmedir.
8. Zenon’un uyguladığı yöntem budur. O Parmenides’in görüşlerine karşı çıkanlara, yani hareketi ve çokluğu kabul edenlere, bu kabulün ortaya çıkaracağı saçma sonuçları göstererek mümkün olmadığını kanıtlamaya çalışır.
9. Yani önce hareketin ve çokluğun varlığını teslim eder, sonra bunlarla saçma sonuçlara ulaşır ve dolaylı olarak hareket ve çokluğun olduğu iddiası doğru değilse, tam tersi, yani hareketin ve çokluğun olmadığı ilkesi doğru olacaktır.
10. Zenon’un amacı Parmenides’İ olumlamak, onu doğru ve haklı çıkarmaktır.

Zeno, bir filozof ve logistti, matematikçi değildi. Aristoteles, diyalektiğin icadıyla, bir arguer’in bir öncülü desteklediği, bir diğeri ise fikri saçmalamayı azaltmaya çalıştığı bir tartışma şekli olarak gösterildi. Bu tarz, büyük ölçüde, içsel bir çelişki bularak saçma bir fikrin azaltılması olan, absürdün azaltılması sürecine dayanıyordu.

Argümanların amacı, öğretmenin fikirlerini savunmaktı. Parmenides, gerçekliğin bir, değişmez ve değişmez olduğuna inanıyordu. Hareket, değişim, zaman ve çoğulculuk sadece yanılsamalardı.

Bu, tabii ki, birçok eleştirmen çekti. Zeno’nun paradoksları, zıt pozisyonu tutmanın, gerçekliğin çok fazla olduğunu, çelişkili ve saçma olduğunu göstermeye çalıştı. Bu nedenle, “bir” doğru felsefe olmalıdır.

Aşil’le Kaplumbağa Yarışı

   Zenon, paradokslarının birinde, yarıtanrı Aşil’le kaplumbağayı yarıştırır. Kaplumbağa Aşil’den çok daha yavaş olduğundan, Aşil’in önünden başlar yarışa. Zenon, Aşil’in kaplumbağayı hiç yakalayamayacağını savunur.

İkiye Bölünme Paradoksu

Zenon’un Parmenides’i desteklemek için yaptığı savunmalar bunlar ve benzerleridir ama yunan düşüncesi “varlık vardır; var olmayan var değildir” söylemine takılıp kalmayacak, çoğulcu materyalistler hem varlığı, hem oluşu kabul etmek ve açıklamak ihtiyacını duyacak ve çalışacaklardır. Onun çabaları sonsuz, sürekli, sayı, uzay, zaman, hareket gibi temel kavramların felsefi analizine büyük katkıda bulunmuştur. Onun felsefe tarihi içindeki önemi de her şeyden çok bu kavramlar üzerine tuttuğu ışıktan ileri gelmektedir.

Paradoksların kısıtlayıcı ve ayırıcı bilgileri;
1.Madde, gözlemlenen hareketi icra ederken, herhangi bir zamanda, herhangi bir mekanda durağan pozisyonda olma zorunluluğuna sahiptir.
2. Doğada madde, aynı zamanda iki farklı yerde bulunamaz. Madde, seçili zamanda sadece bir yeri kaplayabilir ve, hızına rölatif olarak belirlenecek zaman farkından düşük sürede, başka bir mekanda bulunamaz.
3. Tekdüze davranan nesneler ya sürekli hareket, ya da sürekli durağan halde davranmak zorundadır. Olarak belirlenebilir. Zira Zenon, bu bilgiler ile hareketin imkansız olacağının farkına varmıştır. Madde, aynı zamanda iki farklı noktada olamıyorsa, sürekli hareket nasıl gerçekleşebilecekti?

Zenon’dan çok çok sonra, Aristo “Physica” kitabında, Zenon’un üç atlısına cevap vermiştir. Aristo’ya göre, asıl mevzu Zenon’un paradokslarını farklı yorumlamaktı.

Aristo, Zenon’un paradokslarını çözerken, “sonsuz uzay ve mekan” temelinden yararlandı, aslına bakarsak bu tanım bize hiç yabancı değil…her gün iç içe olduğumuz bir durum bu. Sonlu sonsuzluk!

En yakınınızda duran cetveli hemen alın ve inceleyin. Sayılar arasında, ufak çizgiler bulunur. Bu cetveli bir sayı doğrusu olarak düşünün. Bir ve iki arasındaki ufak çizgiler ise, kesirli sayılar olacaktır.

1, hemen ardından, 1.1, 1.2, 1.3, 1.5…2, 2.1, 2.2,2.3…şeklinde gidecektir.

Pekala, 1 ile 1.1 arasındaki ilk “sıçrayış” ne zaman gerçekleşiyor? Aslına bakarsak, hiçbir zaman.

Zira, 1 ile 1.1 arasında sonsuz sayı vardır.

1.1 ile, 1.2 arasında da!

Bu tarz durumlara, “sonlu sonsuz” denir. İki sonlu veri arasındaki, sonsuz verilerdir.

Aristo da, Zenon’un paradokslarını bu şekilde çözmüştür. Sonsuz mekan ve zamanda koşmaya başlarsak, sonsuza kadar ilerlemeye çalışıp, “hareketimizin” sorgulanmasına sebep oluruz. Fakat, yarışın hem zamanen, hem de mekanen bir sonu vardır. Bu sayede, ne kadar “yarımlara” bölünüyor olsa da, bahsedilen yarışı sonlandırabiliriz. Zira, hem zaman hem de mekan kısıtlaması vardır.

Aynı açıklamayı, Akhilleus ve Kaplumbağa Paradoksu için de yaptı. Akhilleus ile kaplumbağa arasındaki mesafe de sonludur. Biz, her ne kadar iki sayı arasında sonsuz sayı bulunsa da, hiçbir sorun yaşamadan sayabiliyorsak, Zenon’un koşucusu da aynı şekilde yarışı bitirebilirdi.

Aristo, Ok Paradoksu’na da aynı çözümü uygulamıştır. Uçan okun, yeteri kadar birim zamana bölünüp, akışı ile gözlemlendiğinde, bu “karelerin” akıcı bir hareket sergileyeceğini düşünüyordu. Fakat, bu iki beyefendiden de çok sonra, Werner Heisenberg, Zenon’un “Bir cisim, birim zamanda hem harekete, hem de konuma sahip olamaz.” görüşünü biraz daha ileri götürerek, Nobel kazanmayı başardı.

Zira, parçacığın birim zamanda, hem hızını, hem de konumunu eşit kusursuzlukta bilebilmek, imkansızdı.
Heisenberg belirsizlik ilkesi, kendi makalesini hak edecek düzeyde ağır bir konu. Sürekli ve süreksiz hareket kavramları, her gün karşılaştığımız hareketin ve sayıların doğasının aslında ne kadar büyüleyici olduğunu tekrar önümüze serdi.

Her ne kadar dört argüman mantıksız görünse de, kafa karıştırıcı olmaktan ziyade, açıklamak ve matematik için çok ciddi sorunlara yol açmak o kadar basit değildir. Gerçek yakınsama ya da sonsuzluk kavramı olmayan Yunanlı matematikçiler için, bu akıl yürütmeler anlaşılmazdı.

Aristoteles, Zeno’nun paradokslarının gelecek 2500 yıl boyunca matematiksel dolaba gizlendiğini ve neden olmadığını göstermeden, onları “yanlış” olarak attı.

O zamanlar, esas olarak felsefenin yenilikleri olarak azaltıldılar. Ancak, yirminci yüzyılda Bertrand Russell ve Lewis Carroll gibi insanların çabalarıyla matematiksel olarak canlandılar. Bugün, yakınsak seriler ve Cantor’ın araçlarıyla donanmış Sonsuz kümeler üzerine kuramlar, bu paradokslar bazı memnuniyetle açıklanabilir.

Bununla birlikte, bugün bile tartışma hem paradoksların hem de rasyonelleşmelerin geçerliliği konusunda devam ediyor.

Yunanlıların Elea filozof Zeno’suna (MÖ 495-435) atfedilen unutulmaz paradokslar nedeniyle sonsuzluk fikrine ulaştığına dair kanıtlarımız var.

Zeno, bu İkilem paradoksu, mekanın ve zamanın sonsuz bölünebilirliği varsayımı altında hareketin asla başlayamayacağını iddia etmek için kullandı.

Bu paradokslar, sonsuzluk kavramının kullanımı tarihindeki ilk örneklerdir. Sınırsız sayıda adımın hala sınırlı bir toplamı olabileceği şaşırtıcı sonucuna “yakınsama” denir.

Aşil’in veya bir odadan ayrılmaya çalışan kişinin daha küçük ve daha küçük adımlar atması gerektiği fikrini ortadan kaldırarak paradoksları çözmeye çalışılabilir. Yine de, Aşil’in daha küçük ve daha küçük adımlar atması gerekiyorsa, asla kazanamayacağından şüphe kalır.

Bu paradokslar sonsuzluğun rahatsız edici özelliklerine ve sonsuz süreçlerin veya olayların anlamını anlamaya çalıştığımızda bizi bekleyen tuzaklara işaret eder.

Aşil ve Kaplumbağa Paradoksuna Yakınsaklık Cevabı

Hızlı bir koşucu olan Aşil’in bir kaplumbağaya karşı yarışması istendi. Aşil saniyede 10 metre koşabilir, kaplumbağa saniyede sadece 5 metre. Parça 100 metre uzunluğunda. Adil bir sporcu olan Aşil, kaplumbağaya 10 metrelik bir avantaj sağlar. Kim kazanacak ?

• Her ikisi de koşmaya başlar, kaplumbağa 10 metre ileridedir.
• Bir saniye sonra Aşil, kaplumbağaların başladığı noktaya ulaştı. Kaplumbağa, sırayla, 5 metre yürüdü.
• Aşil tekrar çalışır ve kaplumbağanın daha önce olduğu noktaya ulaşır. Kaplumbağa, sırayla, 2,5 metre yürüdü.
• Aşil tekrar kaplumbağanın bulunduğu yere koşuyor. Kaplumbağa, sırasıyla, 1,25 metre ileride koşuyor.

Bu bir süre devam eder, ancak Aşil kaplumbağasının sadece bir saniye önce olduğu noktaya ulaşmayı başardığında, kaplumbağa yine biraz mesafe kat etti ve hala Aşil’in önündedir. Bu nedenle, denediği kadar, Aşil yalnızca, kalan mesafeyi yarıya indirmeyi başarır; bu, elbette, Aşil’in aslında kaplumbağaya asla ulaşamayacağını ima eder. Böylece, kaplumbağa Aşil’i hiç de mutlu etmeyen yarışı kazanır.

Açıkçası, bu doğru değil, ama hata nerede?

Şimdi matematiğe dönelim. Herhangi bir yeni nesneyle ilgilenmeden önce, onları tanımlamamız gerekir:

Bir dizi, sonsuz bir eklemenin sonucudur – henüz nasıl kullanılacağını bilmiyoruz – her bir kısmi toplamın, sadece çok sayıda terimin toplamı olduğunu unutmayın. Dolayısıyla, kısmi toplamlar bir sekans oluşturur ve biz sekanslarla nasıl başa çıkacağımızı zaten biliyoruz.

Aslında, bir dizi pozitif ve negatif terimler içeriyorsa, bir çoğu birlikte eklendiğinde iptal edilebilir. Bu nedenle, farklı yakınsama modları vardır: pozitif terimli serilere uygulanan bir mod ve terimleri negatif ve pozitif olabilen serilere uygulanan diğer bir mod.

Koşullu olarak yakınsak dizilerle çalışmak oldukça zordur. Birinin gerçek olmasını beklediği birkaç işlem bu seri için geçerli değildir. Belki de en çarpıcı örnek, birleşme yasasıdır. Yana a + b = b + a herhangi iki reel sayılar için a ve b pozitif veya negatif, bir bir dizi toplamı sırasını değiştirerek sonuca üzerinde çok az etkisi olması gerektiğini de beklenebilir. Ancak:

Koşullu yakınsak serilerin birkaç sürpriz içerdiği görülüyor. Somut bir örnek olarak, alternatif harmonik serisini yeniden düzenleyebiliriz, böylece 2’ye yaklaşır.

Kesinlikle yakınsak seri, beklediğiniz gibi davranır.

Bu bölümü başlattığımızda bir öykü ile bitirmeden önce seriye bir derece soyut sonuç daha vereceğiz. Daha teorik öneme sahip olan tek sonuç

Son hikayemiz sık sık ” Eğik Kule Lire ” olarak adlandırılıyor. Aşil ve Kaplumbağa hakkındaki tanıtım hikayesi, yakınsak (geometrik) bir dizi kullanarak çözebileceğimiz açık bir paradoks oluştursa da, bu hikaye, inanılmaz ancak gerçek bir duruma ışık tutmak için farklı (harmonik) bir serinin özelliklerini kullanır.

Çalışkan ama çok çalışan bir öğrenci olan Jillian, kütüphanede uyuyakaldı ve geceleri içeri girdi.Uyandığında oda loş bir şekilde yanıyordu ve yalnızdı. Zamanı geçirmek (ve sabahları kütüphaneciyi sinirlendirmek için) masanın kenarından taşmaları için bir masaya kitap yığmaya karar verdi.

Sınırsız bir kitap kaynağına sahip olduğunu varsayarsak, hepsi eşit genişlik 2 ve ağırlık 1 (örneğin), üretebileceği en büyük çıkıntı nedir? Daha ilginç hale getirmek için diyelim ki her seviyede sadece bir kitap kullanabilir .

Ancak öykü zamanımız sona ermiştir – sonraki bölüm, bir serinin yakınsak veya uzaklaşıp dağılmadığını hızlı ve verimli bir şekilde belirlemek için uygun testler sunar.