Doğadaki Matematik

Tabiattaki birçok şey incelendiğinde belirli bir mantık üzerine yaratıldığını görmek mümkündür. Mahlukatın tesadüf eseri vücuda gelmediği, bunun bir yaratılış sonucu ortaya çıktığını idrak etmek tefekkür ile mümkündür.

Matematikte Fibonacci adını verdiğimiz bir sayısal dizilim vardır. Bu dizilim tabiattaki birçok canlının şekil ve biçiminde mevcudiyetini gösterir. Bitki yapraklarının diziliminden tutun, ayçiçeğindeki çekirdeklerin dizilimine kadar birçok bitkide, hatta salyangoz kabuğundan insanoğlunun eline, koluna kadar birçok uzuvda ve canlıda bu sayıların dizilişini görmek mümkündür. İşte bu sayısal dizilim canlıların bir tesadüf eseri değil, İlahi bir kudret sonucu yaratıldığını gösterir.

Fibonacci dizilimi hakkında kısa bir malumat vermek gerekirse, başlangıç dizilimi 0, 1 olup, bir sonraki sayı kendinden önceki sayının toplamıyla devam eder: 0, 1, 1(1+0), 2(1+1), 3(2+1), 5(3+2), 8(5+3), 13(8+5), 21(13+8) … şeklinde devam eder. 

Bu sayısal dizilim, 6. yüzyılda Hindistanlı matematikçiler tarafından keşfedilmiş olsa da 12. yüzyılda Avrupa’ya tanıtan kişinin ismini (Fibonacci) almıştır. Esas mevzu ise bu dizilimin tabiattaki birçok canlının biçiminde görülmesi gerçeğidir.

Misal vermek gerekirse aşağıda sözkonusu Fibonacci dizilimiyle bağlantılı bir altın oran (altın spiral) şeması yer almaktadır:

Bu sayısal dizilim, tabiattaki birçok bitkide, hayvanda ve insanlarda görülmekle birlikte hiçbir şeyin tesadüf eseri ortaya çıkmadığına apaçık bir delildir. 

Salyangoz kabuklarının da aynı sayısal özelliğe sahip olduğu görülmektedir. Bu spiral, altın oran ismiyle bilinmektedir.  Matematik ve sanatta, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, uyum açısından en mükemmel boyutları verdiği düşünülen geometrik ve sayısal bir oran bağıntısı olarak da tarif edilmektedir. 

Fibonacci dizilimi ile Altın Oran arasındaki ilişki ise dizilimde yer alan ardışık iki sayının oranının, sayılar büyüdükçe Altın Oran’a yaklaşmasıdır.

Salyangoz kabuklarının da Fibonacci sayısal dizilimine sahip olduğu bilim insanları tarafından kesin olarak tespit edilmiştir. 

Yukarıdaki sayısal eğriyi aşağıdaki salyangoz kabuğuyla mukayese ettiğinizde salyangoz kabuğundaki bükümün sayısal dizilime göre artış gösterdiğini açıkça görebilirsiniz:

Notilus isimli deniz canlısında da Fibonacci dizilimi mevcuttur:

ABD’de yapılan bazı bilimsel konferanslarda bilim adamları, doğal olarak tabiatta oluşan hortumların da bu sayısal dizilime göre şekil aldığı konusunda ortak kanıya varmıştır.

Örneğin Amerika’da oluşan Irene isimli hortumun uydu görüntülerinde bu hesaplama yapılmış ve sayısal bir dizilime göre hortumun etrafa yayıldığı tespit edilmiştir:

Hortumlar genel olarak aynı özelliğe sahip olup, Altın Oran isimli Fibonacci spirali özelliğini taşımaktadır. Amerika’da oluşan hortumlardan bir diğer örnek de Sandy isimli hortuma aittir:

Fibonacci spirali bitkilerde de görülmektedir. Örneğin bir gülde altın oran spiralini görebilirsiniz:

İnsan kulağında da Altın Oran’ı görmek mümkündür. Aynı sayısal dizilim kulak içinde yer alan kulak salyangozunda da vardır. Kulak dışında yer alan Fibonacci spirali:

İnsan elinde eklem noktalarına göre hesaplanan Fibonacci spirali:

İnsan eli ve kolunda eklem noktalarına göre Fibonacci sayı dizilimini görmek mümkündür. El ve kolun uzunlukları arasındaki oran, Fibonacci sayılarının birbirine oranıyla (1,618) aynıdır:



Fibonacci dizilimi;

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584,4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, …

Bilim insanları bazı bitkilerde yaprak sayısındaki artışın bu dizilime göre sıralandığını keşfetmiştir. Bazı bitkilerde yaprak sayısındaki artış 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 şeklinde devam eder:

İlginçtir, tabiattaki bitkiler de yaprak, dal veya yaprak dizilim oranları itibariyle Fibonacci dizilimine göre teşekkül eder. Hangi bitkinin kaç yaprak olduğu, yaprak sayılarının dizilişi belirli bir kurala göredir. 

Hiçbir yaprak veya çiçek tesadüfen ortaya çıkmaz. Hatta bir ağaçta kaç dal olacağı, dalların nereden çıkacağı, dallar üzerindeki yaprak sayıları ve hangi düzene göre yerleşecekleri belirli bir sayısal kurala göre belirlenmektedir. Hiçbir şey tesadüf eseri ortaya çıkmamaktadır.

Doğadaki çiçekler de belirli bir düzene göre yaratılmıştır. Fibonacci diziliminde yer alan rakamlarla doğadaki çiçeklerin büyük bir çoğunluğunun yaprak sayıları birbirine uyum göstermektedir. 

Örneğin papatyalar türlerine göre 13, 21, 34, 55, 89 yapraklıdır. Tek ve iki yapraklı çiçekler çok nadir olsa da en çok 3, 5, 8 ve 13 yapraklı çiçekler yaygınlık göstermektedir. Aşağıda 21 yapraklı papatya türü yer almaktadır.

Papatyaların ortasında yer alan başçık sayılarının dizilimi de Fibonacci dizilimi ile uyumludur. 

Örneğin aşağıdaki görselde saat yönünde ve saat yönünün tersinde spiraller sayıldığında Fibonacci dizilimindeki 21 ve 34 sayıları çıkmaktadır. Yine bu iki sayının birbirine oranı 1,6 küsur Altın Oran değerine sahiptir.

Karnıbaharda yer alan ters yöndeki spiral sayıları da bu dizilimle uyum gösterir:

Kırımızı renkle belirtilen spiral sayısı 5, mavi renkle belirtilen spiral sayısı ise 8’dir. Her iki rakam da Fibonacci diziliminde yer alır ve birbirine olan uyum Altın Oran ile açıklanmaktadır.Brokolideki birbirine zıt yöndeki spiral sayısı 13 ve 21’dir. Bu rakamlar Fibonacci diziliminde yer alır ve birbirine oranı yine Altın Oran ile uyumludur.

13 spiral

21 spiral
Çam kozalağında ters yöndeki spiral sayısı da Fibonacci dizilimi ile uyumludur:

8 spiral

13 spiralİşte bu uyum ayçiçeğinde de vardır. Sadece burada verdiğimiz örneklerde değil doğadaki tüm bitkilerde bu uyumu görebilirsiniz.

Fibonacci dizilimi çiçeklerin dal sayısında olduğu gibi ağaçların dal sayısında da aşağıdan yukarı Fibonacci dizilimi görülmektedir. Aşağıdaki grafikler bunu göstermektedir:

Bitkilerde yaprak dizilimi Fibonacci dizilimiyle uyumludur:

O kadar çok örnek var ki biz sadece bunları sizlerle paylaşmaya vakit bulabildik. Kim bilir daha keşfedilmeyi bekleyen nice mucizeler var… Tüm bunlar tabiattaki hiçbir şeyin tesadüf eseri ortaya çıkmadığını, her canlının kusursuz bir tasarım ile Allah tarafından yaratıldığını göstermektedir.

sonraki yazı KEŞFEDİLMEYİ BEKLEYEN ALTIN ORAN

Sanat ve matematik

Matematik ile sanat arasında ortak olan nedir? Bazı insanlar bu iki disiplini tanımla uyuşmaz olarak görürler. Diğer matematik bkz  içinde  en azından, geometri ve perspektif gibi alanlarda, teknikte. Ancak, bu bağlantının, herhangi bir disiplin ve uygulayıcıları tarafından kullanılan araçlar arasında olduğundan daha önemli olmadığı söylenebilir. Örneğin, kimse elektroniği olduğunu savunuyor içinde  birçok yazar elektronik bilgisayar kullanıyor çünkü literatürde. Öte yandan, bazı insanlar “güzel” bunları yayınlama ve sanat olduğu bu dan çıkarmak, karmaşık geometrik biçimler ya da şekiller bakmak  içinde  matematik.

Bununla birlikte, bu makalede, bu iki disiplinin ilkelerini ve felsefelerini ve nasıl ilişki kurabileceklerini incelemek için biraz daha derine inmeye çalışacağım.

Güzellik ve oran

Eski Yunanlıların zamanından beri ve muhtemelen daha önce, sanatçılar güzellik kavramında orantılı olarak oynadıkları merkezi rolü fark etmişlerdir. Ve orantı matematiksel bir kavram olarak, kendini resmi tanımlara borçludur.

Öyleyse, oranla ilgili bazı temel estetik görevleri düşünelim.

İlk görev, bir çizgi parçasını ikiye bölmektir, böylece daha küçük iki parça birbiriyle ‘hoş’ bir ilişki kurar.

Bunu nasıl yapabiliriz? Segmenti iki eşit parçaya bölebiliriz (1: 1 oranında veya “bire bire”). Biraz fazla açık? Çok sıkıcı? Ya bir bölüm diğerinden iki kat daha uzun olacak şekilde bölüştürsek (2: 1 veya 1: 2 oranı)? Belki de bu, parçaları  boyut olarak çokfarklı kılar  . Belki 2: 3 veya 3: 2 oranında bölebiliriz?

Bunun gibi bir görev, her ne kadar basit gözükse de, ufkunun nereye yerleştirileceğini düşünürken her peyzaj sanatçısı ile yüzleşen şeydir.

  ideal cevap var? Muhtemelen hayır, hepimizin biraz “hoş” ve “güzel” kavramlarına sahip olduğumuz göz önüne alındığında. Ancak, orada  olduğu  çok özel özellikleri olan bir oran, yüzyıllar boyunca birçok sanatçı bazen farkında olmadan, desteklenmiş oldu. Bu oran şu şekilde tanımlanır: Daha uzun mesafeye bölünen kısa mesafe, bütün mesafenin bölündüğü daha uzun mesafeye eşittir  .

İlgili bir görev, en hoş oranlara sahip bir dikdörtgen oluşturmaktır.

Çözüm, belki de çok açık bir şekilde, her iki tarafın eşit olması, diğer bir deyişle bir kare yaratılmasıdır. İki bitişik tarafın oranı 1: 1’dir.

Üçüncü görev daha karmaşık ve ilginç: bir dikdörtgeni yaratın, böylece onu ortadan ikiye bölerek orjinaliyle aynı oranlarda (ancak 90 derece döndürülmüş) iki dikdörtgen oluşturun.

Bu görevin çözümü standart kağıt boyutlarımız için temel teşkil ediyor: A3, A4, A5, A6 vb. Ve oran √2: 1 (yaklaşık 1.414: 1).

Dördüncü ve son görev bir dikdörtgen oluşturmaktır, böylece bir kareyi bir uçtan çıkarmak orijinaliyle aynı oranda daha küçük bir dikdörtgen oluşturur.

Joshua Reynolds’un James’in portresi, Lauderdale’in yedinci Earl’ü

Joshua Reynolds James, 7. Lauderdale Koleksiyonu Üyesi, NSW Sanat Galerisi

Joshua Reynolds 
James, 7. Lauderdale 
Coll Başkanı . NSW Sanat Galerisi

Alan  aşağıda  taç oturduğu çıkıntıya bir kare. Alan  üzerinde  çıkıntının tüm boyama aynı oranda bir dikdörtgendir.

Görünen o ki, bu sorunun son çözümü aslında ilk sorunumuzun son çözümü ile aynı. Ve bu oran yaklaşık olarak 1,618: 1’dir. Kesin değeri (oldukça basit cebir   ile kanıtlanabilir ) √5-1: 2’dir. Kendi özel adı vardır: altın oran. Hatta kendi matematiksel sembolü de var: Φ (Yunanca phi harfi  )  .

Çoğu sanatçı, bir sanat eserinin, özellikle de kompozisyonunun önemli bileşenleri olarak ilişkilerin ve özellikle oranın (matematiksel olarak hesaplanmış bir oran olmasa da) önemini kabul eder. Ancak bazı sanatçılar için oran her  şeydir ; başka bir şey bir dikkat dağıtıcıdır. Bu tür sanatçılardan biri Piet Mondrian. Mondrian’ın olgun stilinde (tipik olarak beyaz, kırmızı, sarı ve mavi, kalın, siyah çizgilerle birbirine kenetlenmiş dikdörtgenler), her resim tüm dünyanın bir temsilidir (veya “damıtma”) . Şimdi Mondrian sadece bu şekilde çalışmaya başladı. Daha önceki çalışmalarına bakarsanız, yirminci yüzyılın ikinci on yılı boyunca, bireyin generaline giderek yavaş yavaş hareket ettiğini, şeylerin “özünü” ararken göreceksiniz. Bu, teknikte soyutlama veya daha genel olarak indirgemecilik olarak bilinir. İndirgemecilik, kaosun düzene  ve karmaşıklığın  sadeliğe dönüştürüldüğü anlamına gelir  .

Biraz sonra göreceğimiz gibi, bazı sanatçılar sıradan kaosa kadar ters yönde seyahat etmeyi tercih ediyor  .

Matematik nedir?

Bir dizi matematikçiye “Matematik nedir?” Diye sorsanız, muhtemelen birçok cevap alırsınız. Bununla birlikte, çoğu, iki temel görüşden birine düşecektir. Biri matematiksel “nesnelerin” bizim hakkındaki bilgimizden bağımsız olduğunu söylüyor. Diğer görüş, matematiksel bir “nesne” diye bir şeyin olmadığını ve matematiğin, sembollerin kuralların sistemlerine  , matematikçilerin icat ettiği sistemlere göre manipüle ettiğini söylüyor  . İlk görüşe “Platonizm” denir (Platon’dan sonra, günlük yaşamda yaşadığımız gerçekliğin ardında kusursuz bir formun olduğuna inanan Plato’dan sonra) ve ikincisine “formalizm” denir (çünkü matematiği biçimsel bir sistem olarak görür) . Platonistler sık ​​sık keşfettiklerini söylerler  matematiksel teoremler, formalistler sıklıkla sadece sembollerle oynadıklarını söyleyeceklerdir.

Zaten sanat ile paralellikler var. Bazı sanatçılar (örneğin Piet Mondrian veya Kasimir Malevich), yarattıkları görüntüleri, bazı gerçeklerin veya ilkelerin tezahürü olarak görür ve bu yüzden eserleri mümkün olan en gerçek gerçekleri mümkün olduğunca açıklayana kadar, daha fazla damıtmaya çalışacaktır. Diğer sanatçılar (Andy Warhol gibi) sanatın dilini sanatın konusu olarak görür   , bu yüzden eserleri sembollerin “anlam” yarattığı bir dizi deney haline gelir .

Sistemden çıkma

Matematiğin (ve bilimin) özü ne soruyor   ya da  nasıl?  ya da  kaç?  (en azından sadece  bu sorular) ama  neden?

Neden bir sistemden geri adım atıp atmadığını sormak – sistemin  arkasındaki  sistemi veya başka bir deyişle “meta sistem” i görmek. Ancak, elbette, eğer bir meta-sistem varsa, bir meta-meta-sistemi olmalı, vb. (Açıkçası, bu “sistem dışına adım atmanın” önemi, bir Platonist ve bir Formalist için farklı olacaktır.)

Bu aynı zamanda ilginç bir felsefi soru ortaya koyuyor (neredeyse teolojik bir soru): tüm  sistemlerin arkasında bir “Büyük Sistem” var mı  , yoksa “tamamen kaplumbağa” mı ?

Rene Magritte La koşulu humain, 1933 Coll.  NGA, Washington, DC

Rene Magritte 
La koşulu humain, 1933 
Coll. NGA, Washington, DC

Sanatta olduğu kadar matematiğin seviyelerini de karıştırdığımızda bazı ilginç sonuçlar ortaya çıkıyor. Örneğin, Belçika Sürrealisti Rene Magritte’nin bu resmini göz önünde bulundurun:

Burada çalışan semiyotik “şaka” nedir (yani, semboller ve anlam hakkında bir şaka)? Temsil ve “gerçeklik” arasında bir fark olmadığı, çünkü tuvaldeki görüntüyü (resimdeki şövale üzerinde) tanımlayan boya, binaları veya çimleri tanımlayan boyadan daha az gerçek değildir.

MC Escher 
Baskı Galerisi 1956 
Coll. NGA, Washington, DC

Şimdi bu çalışmayı Hollandalı sanatçı MC Escher tarafından düşünün:

Dikkatli bakarsanız, kentin, galeri içeren, resmi içeren kenti “içeren” resmi içeren galeriyi içerdiğini göreceksiniz.

Bunlar gerçekten paradokslar ve biz onların garip olduklarını biliyoruz. Ancak, günlük yaşamda, her zaman bir seviye veya anlamdan diğerine geçiyoruz. Örneğin, daha önce şunu yazdım: “Bu yazıda… bu iki disiplinin ilkelerini ve felsefelerini incelemeye çalışacağım.” Başka bir deyişle, yazımda, makalenin kendisine atıfta bulundum!

Seviyeler arasında geçiş yapan bu ‘yasadışı’ normalde bir sorun değildir, fakat matematik ve mantıkta bunun gibi bulanıklıklar paradokslara yol açabilir. Bunlar bakış açınıza bağlı olarak çıldırtan veya büyüleyici olabilir. Birkaç mantık paradoksuna bir göz atalım. Saçma etkilerini sindirmek için biraz zaman ayırın.

İlk (ve en basit) kendini referans kullanır  :

Bu ifade yanlıştır.

İkinci döngüsel referans kullanır  :

Aşağıdaki ifade yanlıştır. 
Önceki ifade doğrudur.

Üçüncü, sonsuz kümülatif referans kullanır  :

Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır. 
Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır. 
Aşağıdaki ifadelerden en az biri yanlıştır. … vb.

Paradokslar ve küme teorisi

Birçok matematiğin inandığı bir matematiğin matematiğinin temeli olduğuna karar verilir. Bir anlamda, küme teorisi çok basittir (bu yüzden ilkokul / ilkokullarda öğretilmiştir); yine başka bir anlamda çok derin.

Bir küme basitçe “şeyler” topluluğudur. İşte bazı set örnekleri:

C: Sizinle aynı odadaki bütün insanların kümesi.

B:  Sizinle aynı odada olmayan , şimdiye kadar yaşamış olan tüm insanların seti  .

C: Cate Blanchett, Avustralya bölgesi, 3 numara ve Bach’s G on Air’den oluşan set  .

D: Evrende  Cate Blanchett, Avustralya bölgesi, 3 sayısı ve Bach’ın  G’deki Havası dışındaki her şeyden oluşan set  . (diğer setler dahil!). Bu “C değil” olarak tanımlanır ve “~ C” ile yazılır.

E: Set A ile birleştirilen Set A’dan oluşan set Bu, “A ve D birliği” olarak tanımlanır ve “A ∪ D” olarak yazılır.

F: Aynı zamanda  Set D’ye ait olan A Grubu üyelerinden oluşan set, bu  A ve D’nin kesişimi olarak tanımlanır ve “A ∩ D” yazılıdır.

Biz muktedir gerekmez Not  saymak  üyeleri, üyeler fiziksel nesneler olmak zorunda değildir ve üyelerin bir kümesi haline gruplandırdık olmasına daha yaygın diğer bir yönleri gerekmez. Tek şart, üyelerin (veya unsurların)  iyi tanımlanmış olmasıdır .

İşte küme teorisine dayanan başka bir meraklı paradoks: Bir kümeyi tanımlayın:  tüm kümelerin kümesi.  Buna “U” (“evrensel” için) diyeceğiz. Eğer U bütün kümelerin kümesiyse, açıkça kendisinin bir üyesi olmalıdır. Do bütün setleri set: Artık başka kümesi tanımlamak  değil  kendilerini içerir. Buna “X” diyeceğiz. Soru şudur: U, X grubunun bir üyesi mi? Cevap evet olsaydı, o zaman bu U olduğu anlamına gelir  değil  cevap hayır, o zaman bu U anlamına geleceğini olsaydı X üyesi  olan  X üyesi! Paradoksun kaynağı sadece görünüşte  iyi tanımlanmış bir küme (X) oluşturmak için kelimeler kullanmamızdır  ; o  görünüyor iyi tanımlanmış olması ama  değil .

Escher  Baskı Galerisi  , temelde set teorisi paradoksuna ilişkin bir resimdir.

krizler

Matematiğin tarihi ve evrimi, sanat eseri gibi, bir dizi krizle işaretlendi: daha önce kabul edilmiş ilkelerin devrilmiş olduğu zamanlar.

“Matematiğin” ilk kullanımı nesneleri (muhtemelen mülkleri) saymaktı. Yani sayılar şunlardı: “1, 2, 3, 4,…” vb. Teorik olarak en büyük sayı yoktu, ancak pratikte sayılacak çok şeyin olması olasılığına göre belirlendi. Sonra kesirler tanıtıldı. Bu tam bir kriz değil, kesinlikle kavramsal bir sıçramaydı. İlk defa insanlar turtaları bir grup insan arasında adil bir şekilde bölebilirdi!

Sıfır

İlk gerçek kriz sıfırdı. Sıfır olmadan, bildiğimiz matematik (yani, sırasıyla X ve C yerine 10’u 100, 100’ü 100’ü temsil eden yer-değer sistemi) imkansız olurdu.

Peki neden sıfır bir krizdi? Bu kısmen karışıklıktı (“hiçbir şey” nasıl olabilir? ”) Ve kısmen korku – büyük bilinmeyen,“ uçurum ”.

İşte ‘sıfır uçurum’ sorununu ele alan bir sanat eseri örneği:

Kapoor’un  Boşluk alanı  , her biri üstte otuz santimetre açıklığa sahip dört büyük Cumbrian taş bloğundan oluşur. Her bloğun içi o kadar karanlık ve yansımasız ki, sadece deliğin ne kadar derin olduğuna bakarak bilmek imkansız. Aslında sonsuz bir şey olmaz.

Olumsuz sayılar

Negatif sayılar, diğer şeylerin yanı sıra finansal işlemlerin (alacakları ve borçlarıyla) mümkün olmasını sağlamıştır. Yine de ilk tanıtıldıklarında krize neden oldular. Niye ya? Bunun nedeni, temel “sayı” kavramını genişletmeleridir. Sayı, başlangıçta iki küme arasında bire bir yazışma anlamına gelir: sayılacak nesne kümesi ve soyut bir ‘birim’. Peki eksi 5 koyunu nasıl alabilirsin?

Bu konstrüksiyona Rus Yapılandırmacı Naum Gabo tarafından bak.

Bu etki genellikle “negatif alan” olarak adlandırılır; ancak, negatif eğrilik olarak daha doğru tanımlanır   (dışbükey yerine içbükey).

Normalde heykelde, pozitif ve negatif eğrilik (örneğin, Henry Moore’un çalışması) arasında bir denge vardır, ancak bu heykelde (ve Rus Yapılandırmacılar tarafından pek çok kişi) negatif eğrilik egemendir ve uzayın döndüğü izlenimini verir. tersyüz.

İrrasyonel sayılar

Kare bir birimi bir birim hayal edin. Pisagor, köşegenin birimlerindeki uzunluğun, kareye girdiğinde ikiye eşit olan bir sayı olduğunu kanıtlamıştır (yani is2).

 Bu neden bir krizdi? Matematikçiler bir zamanlar her sayının iki tam sayının oranı olarak ifade edilebileceğine inanıyorlardı. Bu nedenle, örneğin 3 = 3/1 ve 3.127 =  3127 / , 1000 . Bu, ölçümün temelidir: örneğin, bölümler ve alt bölümlerle işaretlenmiş bir çubuğu kullanarak uzunluğu ölçersiniz. Fakat çok fazla zorluk çekmeden  5  ,   kare olduğunda 2 veren hiçbir p / q (p ve q’nin tam sayıları olduğu) olmadığı kanıtlanabilir . Sonuç olarak, bir mesafeye – veya  herhangi bir miktara sahip olabilirsiniz. – bu asla tam olarak ölçülemez, çünkü kesir olarak ifade edilemez. Bu sayılara ‘irrasyonel’ denir, çünkü oran olarak ifade edilemezler.

Öklid dışı geometri

Euclid’in beşinci  geometri aksiyomu  6  aşağıdaki diyagramda gösterilmektedir. Bir çizgiye (L) ve o çizgide (P) olmayan bir noktaya sahipseniz  , orijinal çizgiye paralel olan bu noktadan geçen bir çizgiyi çizebileceğinizi  belirtir. (Bu elbette her şeyin tek bir düzlemde olduğunu varsayar.)

Öklid dışı geometri,  bu aksiyomu doğru olarak kabul etmeme üzerine kurulu bir sistemdir  . Normal (Öklid) geometride, herhangi bir üçgenin üç açısının toplamı her zaman 180 derecedir. Gelen  olmayan -Euclidean geometri, ancak, toplam fazla 180 derece veya en az 180 derece olabilir. Her ne kadar ‘ortaklaşa’ ile çelişseler de, bir sistem olarak kusursuz bir şekilde tutar, yani hiçbir zaman iç çelişkilere yol açmayacak demektir.

Öklid dışı geometrinin bir kriz olmasının nedeni, negatif ve irrasyonel sayılardan açıklamak zordur, ancak Euclid’in beş aksiyomu yüzyıllardır geometrinin temeli olmuştur. Ayrıca, “ispatlara dayanma, ispatlara dayanma vb. Aksiyomlara dayanma ispatları” sistemi, matematiğin bütününün nasıl işlediğinin modeli olmuştur. Öklid dışı geometri aksiyomların mutlaklığına meydan okudu veya reddetti.

infinitesimals

Sonsuz sinyaller, sıfırdan büyük, diğer pozitif sayılardan küçük miktarlardır. Birçok matematikçi hala mantıksız sayılsa da, asırlarca kullanılan matematiğin temeli budur. Bu bir paradoksun tam tersidir: “Çalışmamalı” olmalı, ama işe yarıyor!

Kasimir Malevich’in  Suprematist Kompozisyonu: Beyaz Üzerine Beyaz  , “sonsuz” bir tabloya benziyor: elde edebileceğin kadar zor ama yine de resme denebilir.

Hayali (ve karmaşık) sayılar

Pozitif sayıyı karelendiğinde pozitif bir sayı elde edersiniz (örneğin 4 x 4 = 16); Eğer negatif bir sayı karesini aldığımda, sen  de  pozitif bir sayı elde (örn -4 x -4 = 16), iki olumsuzluk ‘birbirini iptal’ çünkü. Öyleyse, herhangi bir sayının karesi daima pozitifse, negatif bir sayının karekökü nasıl olabilir? ‘Gerçek’ sayılarla olamaz. Ama ya yapabileceğimizi  hayal  edersek; ya -1 karesinin “i” (“hayali” için) olduğunu söylesek? Eğer yaparsak, o zaman i 2  = -1 ve √-4 = 2i.

Rakamları “hayali” veya “gerçek” olarak tanımlamak, bir tür hiyerarşi veya değer yargısı olduğu anlamına gelir. Şimdi matematikçiler isimlerin mantıksız ve keyfi olduğunu itiraf ediyorlar, ancak isimler sıkışmış ve uygun  7  . Aslında, gerçek ve hayali sayılar “karmaşık sayılar” oluşturmak için de birleştirilebilir (örn. 3i + 7).

Sonsuz sayılar

Matematikçiler uzun zamandır sonsuzluk kavramını (“mümkün olan en yüksek sayı” diye bir şey yoktur) ve daha yakın zamanda sonsuz ölçekleri kabul etmişti. Bununla birlikte, bir sonraki kriz, çeşitli sonsuz sayıların olduğu kavramıydı.

Kendine şu soruyu sorabilirsin: “Bir sonsuzluk diğerinden nasıl daha büyük olabilir?”

Bu tabloyu rasyonel sayılar veya kesirler olarak düşünün:

Göstergelerin (kesirlerin üstündeki sayıları) ızgara boyunca her adım attığımızda birer bir arttığını ve indikatörlerin (en alt sayıları) her indiğimizde bir arttığını göreceksiniz. Dolayısıyla, ızgara sonsuza kadar aşağı ve yukarı uzatılırsa, her rasyonel sayının en az bir kez listelenmesi gerekir. Postacı olsaydınız ve ızgaradaki her kesime posta yollamak zorunda kalsaydınız, hangi yolu izlerdiniz? İlk önce üst sıraya geçmek iyi olmaz çünkü bir sonraki sıraya asla geçemezsiniz. Aynı şekilde soldaki sütun için. Çözüm aşağıda mavi olan gibi bir yol izlemektir:

Gösterilen bu yolu izleyerek, belirtilen herhangi bir rasyonel sayıya ulaşılabilir – en sonunda, kesin bir adım adımdan sonra. Bu, rasyonel sayılar kümesinin “sayılabileceği” anlamına gelir, çünkü herhangi bir üye için tam sayılar kümesinin karşılık gelen bir üyesi vardır. Bu birebir yazışmalara bazen “haritalama” denir.

Tam sayılar kümesiyle eşleştirilebilen sonsuzluğa ℵ 0 denir  (telaffuz edilir) (Aleph null). Buna sonsuz sayı teorisinin öncüsü Georg Cantor deniyordu.

Umarım merak ediyorsundur, ℵ 0 bariyerinden  daha büyük sonsuz bir sayıya geçebilir miyiz ?

 0 ile 1 arasında, ondalık olarak ifade edilen benzersiz gerçek sayıların bir listesini  derleyelim. Bunlar rasyonel veya mantıksız olabilir. İşte her bir numara için ilk dokuz ondalık basamağı gösteren böyle bir listenin başlangıcı:

r (1) = 1  4 1 5 9 2 0 5 3 
r (2) =. 3  3  3 3 3 3 3 3 3 
r (3) =. 7 1  8  2 8 1 8 2 8 
r (4) =. 4 1 4  2  1 3 5 6 2 
r (5) =. 5 0 0 0  0  0 0 0 0 
r (6) =. 2 4 4 9 1  9  3 1 0 
r (7) =. 0 5 8 8 2 4  1  9 7 
r (8) =. 9 8 7 6 5 4 3  2  1 
r (9) =. 0 0 1 0 2 5 5 2  9

Onlar sonsuz seride olduğundan, ℵ vardır 0  tanesi. Bununla birlikte, bir oluşturabilir  yeni  (3), ve benzerleri r (1), r, ikinci basamak (2), üçüncü basamak r ilk rakamı kullanılarak, fakat (her zaman ilave basamak sürece numarayı 9, bu durumda 0 olur). Yani, bu örnekte, köşegenin altındaki kalın rakamları takip ederek  , .138209129… Sonra bir tane ekleyerek, .249310230 elde ettik… Bu, serimizdeki  mevcut sayıların hiçbirine eşit olamaz çünkü en az birinde farklılık gösterir.   her birinin ondalık basamağı. Bu, iki set arasında bire bir yazışma olamayacağını gösterir. Bu nedenle  sıfır ile bir arasında daha gerçek sayılar  vardır. tüm  sayılar!

Bu yüzden, ℵ 1  (“aleph one”) adı verilen sonsuz sayıda daha büyük veya “daha ​​yüksek bir düzen ” olmalıdır. Aslında bundan daha büyük sonsuz sayılar vardır.

Nihai kriz (ve en derinine kadar), sonsuz sayı teorisinden dolaylı olarak ortaya çıktı.

Eksiklik teoremi

Tam sayıların sayısının ℵ 0  , gerçek sayı sayısının ℵ 1 olduğunu belirledik . Bazı matematikçiler merak  ettiler, ℵ 0  ve ℵ 1arasında sonsuz bir sayı var  mı? 1878’de Cantor, ‘önsezisinin’ (ya da hipotezinin) olmadığını söyledi. Bu Devamlılık Hipotezi olarak bilinir. Altmış yıl boyunca matematikçiler bunu ispatlamak ya da ispatlamak için çabaladılar. Nihayet, 1938’de Alman matematikçi Kurt Gödel (“kuşak” olarak telaffuz edildi) Continuum Hipotezinin (CH)  set teorisi ile tutarlı olduğunu kanıtladı  , ancak  kanıtlanamaz  (yani hiçbir zaman bir çelişkiye yol açmayacak). Ama sonra, aynı Continuum Hipotez tersi için de geçerlidir (oradaki yani  olduğu ℵ 0 ile  ℵ 1 arasında en az bir sonsuz sayı ).

Peki hangisini kabul etmeliyiz? Cevap, ister inan ister inanma … ya! Ancak   , CH’nin doğru olduğunu varsaymak daha kolaydır. “ Occam’s Razor ” olarak bilinen prensip budur (“İki karşıt teori varsa ve kanıtlanamaz veya ispatlanamazsa, daha basit olanı kabul et”).

Gödel, ispat etme ispatını genelleştirmeyi başardı: “Sayı teorisi ile ilgili olan ancak sayı teorisi sistemi ile tutarlı olan ancak kanıtlanamayan ifadeler var.”

Bu, Heisenberg’in fizikteki ünlü belirsizlik ilkesi  9 ile ilgilidir  . Belirsizlik ilkesi ve kaos teorisi, evrenin kuantum doğası ile ilgilidir. Ama elbette, matematiğin soyut alanının bundan bağışık olduğunu düşünebiliriz! Görünüşe göre öyle değil.

Gödel, Platonculuk ile Formalizm arasında fazladan bir kama sürdü: Platonistler teorisine “Biçimsel sistem çok zayıf” diyerek yanıt verdi: Biçimciler, “Platonist görüş anlamsızdır, çünkü aksiyomlar keyfidir.”

Sanatta Krizler

 Sanattaki ilk krizin ne olduğunu söylemek çok zor  . Matematiğe kıyasla, sanatın amacı ve dolayısıyla tanımı, özellikle tarih öncesi, sanatta çok daha az açıktır. Bununla birlikte, şimdi anlayabildiğimiz gibi, sanatla ilgili üç kriz, görelilik, nesne özerkliği ve belirsizliktir.

izafiyet

İzafiyete inanmak, bir konunun gerçek ve nesnel bir temsilini yapmanın mümkün olduğu fikrini reddetmektir.

Sienalı sanatçı Sano di Pietro, Meryem Ana’yı, bebek İsa’yı, sanki hepsi cennetteymiş gibi altın varaka karşı çeşitli azizleri ve melekleri temsil ediyor. Meryem’in solundaki aziz, Mukaddes Kitaba göre İsa ile aynı zamanda doğmuş olan vaftizci Yahya’dır.

Figürlerini mimari bir ortama yerleştirerek ve nispeten yeni bir lineer perspektif tekniğini kullanarak, Floransalı Rönesans sanatçısı Raphael,  konuya göre uzayda konumunu tanımlar  . Şu an oradaydı, şu an Mary ve İsa’nın enthroned olduğu. İronik olarak, sanatçı hayal gücünden bir sahne oluşturmak için “Ben bu olaya tanık oldum” yazan bir teknik kullandı.

Bununla birlikte, sanattaki görelilik sadece alan ve zamanla sınırlı değildir  . Aşağıdaki iki sanat eserini düşünün:

İzlenimci sanatçı Claude Monet, belirli bir zamanda, belirli bir günde, bu samanlıklara bakarak yaşadığı duyumları anlatıyor. Işık ve atmosferin etkileri  konuya ilişkin algısını etkiledi  .

Özetlemek gerekirse, sanattaki görelilik, dünyaya göründüğü gibi göründüğü gibi sunuluyor  .

Nesne-özerklik

Sanatçılar, konularını göründüğü gibi tanımlamak için doğrusal perspektif kullanmayı öğrendikten sonra, resimler sanal pencerelerde ‘pencere’ çerçeveleriyle tamamlandı. Buna karşılık, birincisi sanat tarihine geri döner, genel olarak konuşursak, görüntü konu ile ne kadar çok özdeşleşirse, neredeyse sihirli bir şekilde (örneğin Mısır mezar resmi).

Bu resmi düşünün, Fransız on yedinci yüzyıl sanatçısı Claude Lorrain:

Resim, hayali (ve idealize edilmiş) bir dünyaya baktığımız yanılsamasını yaratır. Tekniğin çok iyi olması gerekiyor, çünkü fırça darbelerini görebilirsek “illüzyon balonu” patlar; Bir filmde bir mikrofon patlaması görmek gibi olurdu.

Paradoksal olarak, birçoğunun modern sanatın habercisi olduğuna inandığı sanat hareketi – Empresyonizm – görelilik krizine ve bu “illüzyon gibi imaj” sözleşmesine meydan okuyan bir krize dahil oldu.

Monet, Grainstack, sisin içinde güneşin resmine bakın  . Bu düşük çözünürlükte bile (veya orijinalinden beş metre uzaklıkta), fırça darbeleri açıktır. Birçok insan Empresyonist resimlerin çok uzaklardan görülmesi gerektiğini söylüyor, çünkü o zaman “neye benzemesi gerektiğini” görebilirsiniz. Ancak bu, Empresyonistlerin niyetini yanlış anlamaktır. İzlenimci sanatçılar büyük, kalın fırça darbeleri (bazen bir palet bıçağıyla yapılan işaretler) ve kırılmış, yüksek yoğunluklu renkler kullandılar. İzleyicinin resimlerini on dokuzuncu yüzyıl resimlerine benzeyecek kadar uzağından izlemesi gerekiyorsa ne olurdu?

Empresyonist resimlerin çağdaş izleyicilerinden biri, Rus Vasili Kandinsky idi. Burada muhtemelen yukarıda gösterilene benzemeyen bir Monet’le (bir samanlık resmi) ilk karşılaşmasını hatırlıyor.

“Katalog bana saman yığını olduğunu açıkladı. Tanıyamadım. Bu tanıma eksikliğinden utandım. Ayrıca ressamın belirsizce resim yapma hakkının olmadığını da hissettim. Nesnenin eksik olduğu konusunda sıkıcı bir his vardı. … Bununla birlikte, bu tamamen açıktı – şimdiye kadar bilinmeyen tüm hayallerimi aşan, paletin beklenmedik gücü idi. ”  10 

Bu “paletin gücü”, boyalı yüzeyin özerkliği idi  . Artık sadece başka bir şey gibi davranan bir görüntü değildi – bir yanılsama – bu başlı başına bir şeydi.

Ve işte Kandinsky’nin eseri, ilk karşılaşması hakkında yazdığı aynı yıl tesadüfen boyandı:

Belirsizlik

Bu matematik ve fizikteki krizlere en yakın paraleldir: sırasıyla Gödel’in Eksiklik Teoremi ve Heisenberg’in Belirsizlik İlkesi. Şu soruyu dikkate alarak yaklaşacağız: Bir sanatçının imajı nereden geliyor?

Fransız avangard sanatçı Marcel Duchamp’ın üç eseriyle başlayalım.

İzlenimcilik Sonrası (örneğin, Van Gogh veya Gauguin’in çarpık renkleri) kazanımlarının tüm kabulü için, bu resim hala esasen, kısacık, görsel bir deneyimin kalıcı, iki boyutlu bir “eşdeğeri” bulma durumudur. bazen “bak ve koy” olarak da adlandırılır).

Yaklaşık beş yıl sonra ve Duchamp görüntünün kendi yaşamına sahip olmasına izin vermeye başlıyor (Kübizm dersleri sayesinde).

Bir yıl sonra ve aniden Duchamp, bir sanat görüntüsünün doğrudan sanatçısı tarafından yaratılması gerektiği varsayımına sırtını döndü. ( “Hazır Madeş” olarak sanatçı tarafından anılacaktır) diğer eserler o sadece tek nesnelerdir rağmen bu özel çalışma, sadece bir tabure içine bir bisikletin bir kalkık ön tekerlek eklenerek oluşturuldu  ilan  eserleri olmak. Sanatçı seçtiği sürece, bu yeterli.

Kandinsky aynı krize farklı bir açıdan yaklaşıyor:

Duchamp’ın aksine, Kandinsky yaratıcı sürecin dokunsallığını korur, ancak önündeki herhangi bir özel motifin bağlantısını reddeder. Bu, aklın “serbest dolaşıma” bir örneğidir.

Neredeyse kırk yıl sonra, ABD’de Jackson Pollock adlı bir sanatçı bu fikri daha da ileriye itiyor:

Pollock’un resimleri, fizik yasaları (örneğin, yerçekimi ve sıvıların dinamiği nedeniyle ivmelenme) ve insan kinesiyolojisi hakkında, sanatçının “içsel duygusal yaşamı” hakkında olduğu kadar – muhtemelen daha fazlası.

Bununla birlikte, bütün cesur çabaları için sanatçıların sanat eseri yaratma konusundaki sınırlayıcı varsayımlardan kurtulma çabaları, Duchamp, Kandinsky ve Pollock’un hepsi temelde iki unsur olduğunu varsaydı:  sanatçı  ve  sanat eseri  (sonra seyirci).

Fakat ya sanatçı bunu bile bırakırsa? Burada Fransız ressam Yves Klein tarafından bir sanat eserinin yaratıldığını ve daha sonra sanat eserinin kendisini görüyoruz:

Bu çalışmanın sanatçısı Yves Klein’in güvenle olduğunu nasıl söyleyebiliriz? Belki de o daha fazla yönetmen ya da şef; ve burada hem tehlike hem de kurtuluş yatıyor.

Mandelbrot modeli

Mandelbrot modeli – İşte pek çok insana tanıdık gelebilecek bir görüntü.

Tamamen şaşırtıcı derecede basit bir matematiksel formül tarafından üretilen tam anlamıyla sonsuz karmaşıklığa sahip bir kalıptır:

, n + 1  = u , n 2  s + 
0  = 0 
{u , n }, ancak ve ancak sınırlı C ∈ M

Bu matematikte en büyük sürpriz olabilir (en azından sanatçılar için): tamamen algoritmik ve mekanik olan süreçlerin, tamamen belirleyici ve öngörülebilir olması gereken süreçler, aslında vahşi ve tahmin edilemez olabilir.

iTunes modeli

Öyleyse, belki de sanat yapıcılığını bilgisayarların gerçekleştirdiği algoritmalara bırakmalı mıyız? Örneğin, Apple’ın  iTunes Visualiser’ı (hayata G-Force adı verilen bağımsız bir program olarak başladı  ).

Beceri ve duyarlılık, belirli bir görüntü veya görüntü dizisinin oluşturulmasında değildir (sonuçta, bilgisayar maharetli veya hassas değildir, sadece talimatları yerine getirirken oldukça hızlıdır). Hacim, perde ve ritime cevap verecek, beklenmedik ve öngörülemeyen (yani kaotik) kalıplar oluşturmak için geri beslenecek ve henüz (çoğunlukla) bir tutarlılık duygusunu koruyacak kodun oluşturulmasındadırlar.

Bununla birlikte, algoritmik bir yaratıcı süreç insan müdahalesi ve katılımından yoksun olmak zorunda değildir. Örneğin, Sidney merkezli bir baskıcı olan George Barker,   onun için imajlar oluşturmak için bir bilgisayar programlar . Sanat programlamada.

Paradoksal olarak belki de, sanatı “evcilleştirmenin” bir yolu olmaktan uzak, matematik sanatı ve sanatçıyı özgürleştirmenin bir yolu olabilir.

sonraki yazı Neden matematik tarihi, aynı zamanda sanat tarihidir?

MİMARİDE MATEMATİK MALZEMESİ

Öyle mimari yapılar var ki bulunduğu yerin adı söylendiğinde, birçoğumuzun aklında ilk canlanan şeyler o yere ait bu yapılardır. Gerçekten de Mısır’ dan bahsedildiğinde dünyanın 7 harikasından günümüze ulaşan tek eser olan Keops piramitleri de zihinlerimizde canlanır.

Peki 21. yy da dahi insanları etkileyebilen bu yapılardaki sır ne?

Neden bu yapılar gözümüze hoş gelir?

İstemli veya istemsiz belli oranlar kullanılmış olabilir mi?

Altın oran insanoğlu tarafından yüzyıllardan beri kullanılmaktadır. Altın oran antik çağlardan kalan birçok eserde görülebilir. Bunlardan birisi milattan önce 2500 yıllarında yapıldığı tahmin edilen Mısır’daki büyük piramittir.

En eski kullanımına Mısır Piramitleri’nde rastlanmaktadır. Piramitlerin taban yerleşimlerinden yüksekliklerine hemen her noktasında altın oranın kullanımına rastlanmakta hatta piramitlerin bir arada incelenmesi sonucu konumlarının altın spirali oluşturduğu çarpıcı şekilde görülmektedir. Piramitlerin yapımında kullanılan bu oran birçok Mısır eserinde ortaya çıkmaktadır.

Peki ülkemizdeki mimari yapılarda da matematikten söz edebilir miyiz? Mimariyle matematiği buluşturan o ünlü ismi tanırsınız: Mimar Sinan.

Toplamda 375 eseri olan mimarın ustalık eserim dediği Dünya Kültür Mirası listesindeki Selimiye Camisi de matematikle haşır neşir olmuş bir mimari eserdir. Bunu şurdan anlıyoruz:

Türk mimarisi ve sanatında da altın oran örneklerini görmek mümkündür. Mimar Sinan’ın inşa ettiği Süleymaniye ve Selimiye Camilerinin minarelerinde, Konya’ da Selçukluların inşa ettiği İnce Minareli medresenin taç kapısında, İstanbul’ daki Davut Paşa Camisinde, Sivas’ta Mengüceklerden günümüze miras kalan Divriği Külliyesinde altın oran görülür.

Gerçekten de bir mimari eser eğer bugün gözümüze hoş geliyorsa bunda matematiğin kullanılmış olmasının etkisi büyüktür. Buna güzel bir örnek Mimar Sinan’ ın Selimiye Camisinin kubbesini o genişlikte oturtmak için 13 bilinmeyenli bir denklemi çözmesidir. Böylece görülmektedir ki kubbenin ve minarelerin temelinde matematik yatmaktadır.

Bu konuda Sidney’ deki opera binasından söz etmemek olmazdı. Sizce bu eserde matematik nasıl kullanıldı?

1959’da Sydney’e bir opera binası yapmak için düzenlenen tasarım yarışmasına 32 ülkeden 222 kişi katıldı. Kazanan neredeyse hiç tanınmayan, 40’lı yaşlarında Hollandalı bir mimar, Joern Utzon oldu.

Yarışma projesindeki kabuklar aslında tanımsız bir geometrideydi, ancak erken tasarım sürecinde, “kabuk” bir dizi parabol tarafından desteklenen prekast beton nervür olarak algılandı. Ancak, mühendisler bunları oluşturmak için kabul edilebilir bir çözüm bulamadı.

Sidney Opera Binası modern mimarinin son derece karmaşık geometrileri için yolu açtı. Tasarım bilgisayar analizi kullanımı ile karmaşık şekiller tasarımının ilk örneklerinden biriydi.

İşte bu binanın da çatı kabukları bize malzeme oluyor. Dikkat ettiyseniz kabuklar yatların yelkenlerini andırıyor. Yelkenlerin parabolik görüntüsü bir mimari eserde işte bu kadar güzel durabiliyor. Böylece de matematik en dikkat çekici malzeme olarak mimaride kullanılabiliyor.

sonraki yazı Matematik ve Mimarlık