Euclid (Öklid)

Yunan tarihi, antik kültürler, matematik, fizik ve doğa bilimleriyle ilgilenen herkes Öklid ve başarıları hakkında bilgi edinmek isteyebilir . Neredeyse her matematik ders kitabında bahsedilir ve birçok tarihi metin ve bilimsel metinde de referans alır. Birçok fikir geliştirmesiyle tanınır, ancak her şeyden önce, tüm zamanların en iyi düşünürlerinden biri olduğu anlaşılır.

Öklid ve Başarıları

Öklid hikayesi, iyi bilinmesine rağmen, aynı zamanda gizemli bir şeydir. Mısır’ın İskenderiye’de hayatının çoğunu yaşadı ve birçok matematik teorisi geliştirdi. Mekan, zaman ve şekiller hakkında düşündüğümüz birçok yöntemi icat ederek geometrideki çalışmaları ile ünlüdür.

Halen matematiği öğretmek için halen kullanılan en ünlü kitaplardan birini , zamanında kabul görmüş ve bugün düşünce ve anlayışı için övgüyle övülen Elementleri yazdı .

Bu, insanların matematik hakkında ilk kez yazdıkları bir şey değildi ve birçok kişi, metninde sunduğu teorilerin bazılarını geliştirdi. Ancak, hatırlanması en önemli şey, anladığı şekliyle tüm geometri teorisinin eksiksiz ve tutarlı bir incelemesini yazan ilk kişi olduğu.

Geometrinin Babası Olarak Öklid

Yaygın bir yanılgı, Euclid’in tüm geometri kavramlarını icat etmesidir. Bu kesinlikle öyle değil, çünkü gerçekten sadece fikirleri bir araya getirip bir kitapta kendi fikirleri olarak geliştirdi. Ancak, bu konuda disiplini kesinlikle geliştirerek, insanların yazılı çalışmalarını takip ederek öğrenebilecekleri somut, organize bir çalışma haline getirdi.

Yaşamın diğer bölümleriyle ilgili teorileriyle de ünlüdür: Optiks’te perspektifi tartışıyor ve dünyayı gözlerimizle nasıl gördüğümüze dair bir fikir veriyor.

Geometrik ilkelerle, sonraki yüzyıllarda diğer matematikçiler çalışmalarını geliştirebildiler. Bu bağlamda, birçok gelecekteki düşünürün örgütlü fikirlerine genişlemesinin yolunu açtığı için Geometri’nin Babası olduğu anlaşılmaktadır. Diğer düşünürler, geometrik yöntemini düşüncelerini tamamen farklı bir yönde genişlettikleri bir folyo olarak bile kullandılar.

Antik Yunan Bilgini Olarak Öklid

Bugün Antik Yunan kültürünü klasik olarak anlıyoruz; içinde düşünce, tartışma, matematik, bilimler ve daha önce hiç Yunanistan’da olmadığı gibi gelişti ve gelişti. Öklid, bu kültürün bir parçasıydı.

Öklid MÖ 300 civarında vardı ve o zamanlar düşünür ve bilgin olarak Yunan kültüründe önemli bir şahsiyetti . Düşünce sorgulama, değişen dünyayı anlama ve çevremizdeki dünyadaki kalıpları daha iyi anlayabilmemiz için yeni fikirler geleneğinin bir parçasıydı. Diğer Antik Yunan alimler arasında, bugün pek çok alim ve akademisyenin izlemeye devam ettiği düşüncesi üzerine bir miras bıraktı.

Öklid (M.Ö 325 – M.Ö. 265) – Yunanlı Matematikçi, “Geometrinin Babası” olarak kabul edilir. ‘Elements’ adlı ders kitabı 19. yüzyılın sonlarına kadar oldukça etkili bir matematik öğretme kitabı olarak kaldı ve dünyada en çok yayımlanan kitaplardan biri. Özellikle matematikte bilimler üzerinde kalıcı bir etkisi olmuştur. Michael H. Hast’in bir listesinde – Euclid tarihte14. en etkili kişi olarak kabul edilir

Öklid MÖ 4. yy’ın ortalarında doğdu ve İskenderiye’de yaşadı; Ptolemy I (323-283BC) döneminde çoğunlukla aktif idi. Euclid adı “ünlü, şanlı” anlamına geliyor – aynı zamanda İskenderiye Euclid’i olarak da anılıyor.

Öklid’in yaşamı hakkında ayrıntılar azdır – temel biyografik bilgiler yüzyıllar sonraya kadar yazılmamıştır, örneğin Proclus c. 450. Proclus, Euclid hakkında yazıyor:

“Bu [Platon’daki öğrenciler] den çok küçük değil”, “Elementleri” bir araya getiren, birçok Eudoxus teoremini düzenleyen, Theaetetus’ların çoğunu mükemmelleştiren ve aynı zamanda sadece gevşek olarak kanıtlanan şeyleri reddedilemez bir şekilde göstermeye başlatan Euclid’dir. selefleri. Bu adam ilk Ptolemy döneminde yaşadı; İlk Ptolemy’yi yakından takip eden Arşimet, Euclid’den bahseder ve ayrıca Ptolemy’den bir kez ona, geometriyi incelemek için geometriye giden kısa bir yol olup olmadığını sorduğunu söyler. ”

Büyük olasılıkla Euclid İskenderiye’de bir matematik ekibi ile çalıştı ve matematiksel çalışmalarında bir derece yardım aldı. Bazı tarihçiler, Euclid’in eserlerinin birkaç yazarın sonucu olabileceğini düşünüyor, ancak çoğu kişi bir kişinin – Euclid’in asıl yazar olduğuna katılıyor.

Euclid’in Platon’daki Atina Akademisi’nde çalışmış olması ve ilk bilgisinin büyük bir kısmının bu Plato perspektifinden gelmesi muhtemeldir. Özellikle, Euclid, Eudoxus’tan çok fazla geometri öğrenmiş olacaktı.

Daha sonra bir tarihçi olan Pappus, Öklid’de (MS 320’de) Öklid’in iyi karakterde olduğunu, yani Öklid’in şöyle olduğunu yazıyor:

“.. matematiği ilerletmek için herhangi bir önlem almayı başarabilmiş, suç vermemek için dikkatli olmamakla ve kesin bir alim olmasına rağmen kendinden övgüyle söz etmeyen herkese karşı en adil ve iyi niyetli”.

Küçük Öklid’in kişisel hayatı, onun ana kitap ‘hakkında kesin olarak bilinmektedir rağmen Elemanları ‘ (aslında eski Yunanca yazılmış) önemli matematiksel öğretilerinin standart çalışma haline geldi. 13 kitaba ayrılmıştır.

  • Bir ile altı arasındaki kitaplar düzlem geometrisi ile ilgilidir.
  • Yedi ila dokuzuncu kitaplar sayı teorisi ile ilgileniyor
  • Sekizinci kitap geometrik ilerlemede
  • İrrasyonel sayılarla on anlaşma yapın ve
  • Onbir ila on üç kitap üç boyutlu geometriyle ilgileniyor.

 

Öklid’in dehası, matematiksel fikirlerin birçok farklı unsurlarını dolaşımda almak ve tek bir mantıksal, tutarlı formatta birleştirmek olmuştur.

Weston Kütüphanesi Oxford’dan Öklid Elemanları

 

Öklid’in en etkili yönlerinden bazıları şunlardır

  • Asal sayılar üzerine çalışmaları
  • Öklid lemması – asal sayıların temel bir özelliğini belirtir: Asal bir çarpımı iki sayı ile bölerse, bu sayılardan en az birini bölmek zorundadır.
  • Aritmetiğin temel teoremi veya benzersiz prime-çarpanlara teoremi . Öklid lemması kullanılarak, bu teorem, birden fazla tamsayının kendisinin asal veya asal sayıların çarpımı olduğunu ve asal sayılar için belirli bir düzen olduğunu belirtir.

Euclid’in yalnızca bir pusula ve düz kenar kullanarak belirli bir düz çizgi bölümünden AB’den bir eşkenar üçgenin inşa etme yöntemi “Elementler” in 1. Kitabında 1. Öneriydi.

“İki sayı birbirini çarparak bir sayı yaparsa ve herhangi bir asal sayı ürünü ölçerse, orijinal sayılardan birini de ölçer.”

– Öklid, Öğeler Kitabı VII, Önerme 30

  • Öklid algoritması – iki sayının en büyük ortak bölenini (GCD) hesaplamak için etkili bir yöntem, en büyük sayı geri kalanı bırakmadan her ikisini bölen sayıdır.
  • Geometri. Öklid şekille ilgili bir geometri sistemini ve göreceli pozisyonları ve mekanın özelliklerini tanımladı. Geometriyi aksiyomatik forma sokan (mantıksal türetilmiş teoremler) Öklid idi. Çalışmaları Öklid geometrisi olarak bilinir.

Bazen, İncil’in yanında “ Elementler ” in Batı dünyasında üretilen tüm kitapların en çevrilmiş, yayınlanmış ve çalışılmış olabileceği söylenir .

Bazıları, Öklid’in ‘ Elementleri’nin İncil’den sonra tüm kitaplarda en çok yayımlanan, çevrilen ve çalışılan ikinci bölüm olabileceğini belirtmiştir .

Etkili Elementlerin yanı sıra, Euclid diğer matematiğin dallarını da araştırdı.

Optik – Öklid, bir nesnenin göze olan mesafesine göre görünür boyutunu araştırdı. Önerme (45), iki eşit olmayan büyüklükteki nesneler için, ikisinin eşit göründüğü bir nokta olduğunu belirtmiştir.

Phaenomena – Küresel geometri üzerine bir çalışma – uzayda nesneleri gözlemlemek ve ölçümler oluşturmak için geometri kullanmak

Şekillerin Bölünmesi – şekilleri daha kurucu bölümlere ayırma.

Veriler – Verilen bilgilere geometrik problemlerden bakarak.

 

Öklid’in beş genel aksiyomu:

  1. Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine eşittir.
  2. Eşittir eşittir eklenirse, (eş) toplamları eşittir.
  3. Eşitler eşitlerden çıkarılırsa, kalanlar (farklar) eşittir.
  4. Birbiriyle örtüşen şeyler birbirine eşittir.
  5. Bütün kısımdan daha büyük.

Beş geometrik postulatları şunlardı:

  1. Herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya düz bir çizgi çekmek mümkündür.
  2. Sonlu bir düz çizgiyi sürekli olarak düz bir çizgide uzatmak mümkündür (yani bir çizgi segmenti, isteğe bağlı olarak büyük bir çizgi segmenti oluşturmak için her iki uç noktasından da uzatılabilir).
  3. Herhangi bir merkez ve mesafeye (yarıçap) sahip bir daire oluşturmak mümkündür.
  4. Tüm dik açılar birbirine eşittir (yani düz bir açının “yarısı”).
  5. İki düz çizgiyi geçen düz bir çizgi aynı taraftaki iç açıların iki dik açıdan daha az olmasını sağlarsa, iki düz çizgi, süresiz olarak üretilirse, açıların iki dik açıdan daha küçük olduğu tarafta buluşur

Diğer birçok matematiksel cevher arasında, “Elementler” in on üç cildi, koniler, piramitler ve silindirler gibi katı cisimlerin hesaplanması için formüller içerir; geometrik seriler, mükemmel sayılar ve asallar hakkında ispatlar; en büyük ortak böleni ve iki sayının en az ortak katını bulmak için algoritmalar; Pisagor Teoreminin bir kanıtı ve genelleştirilmesi ve sonsuz sayıda Pisagor Üçlüsü olduğunun kanıtı; ve sadece beş olası normal Platonik Katının olabileceğine dair kesin ve kesin bir kanıt.

Bununla birlikte, “Elementler” aynı zamanda sayı teorisinin ilk gerçek başlangıçlarını işaretleyen, sayıların ve tam sayıların özelliklerine dair bir dizi teorem de içerir. Örneğin, Euclid, Aritmetiğin Temel Teoremi (veya Eşsiz Faktörleşme Teoremi) olarak bilinen, 1’den büyük her pozitif tamsayının asal sayıların bir ürünü olarak yazılabileceğini (veya asıl bir sayı olduğunu) kanıtladı. Böylece, örneğin: 21 = 3 x 7; 113 = 1 x 113; 1.200 = 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 5 x 5; 6,936 = 2 x 2 x 2 x 3 x 17 x 17; Bu kanıtı, çelişkili bir kanıtın ilk bilinen örneğidir (aksi halde yanlış bir fikir ortaya koyan herhangi bir karşıt örneğin, mantıklı bir anlam ifade etmediği gösterilmiştir).

Sınırsız sayıda asal sayı bulunduğunu farkeden ve kanıtlayan ilk kişi oydu. Genellikle Öklid Teoremi olarak bilinen ispatının temeli, herhangi bir (sonlu) asal küme için, eğer hepsini bir arada çarpıp sonra bir tane eklerseniz, sete yeni bir asallık eklenir (örneğin; , 2 x 3 x 5 = 30 ve 30 + 1 = 31, asal sayı) süresiz olarak tekrarlanabilen bir işlem.

Öklid ayrıca, ilk dört “mükemmel sayıyı”, (tümcüllerinin toplamı olan) tüm bölenlerin toplamı olan sayıları belirledi: 
    6 = 1 + 2 + 3; 
    28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14; 
    496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248; ve 
    8,128 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1,016 + 2,032 + 4,064. 
Bu sayıların başka birçok ilginç özelliğe de sahip olduğunu belirtti. Örneğin:

 

  • Üçgen sayılardır ve bu nedenle ardışık sayıların en büyük asal çarpanlarına kadar toplamı: 6 = 1 + 2 + 3; 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7; 496 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + …. + 30 + 31; 8,128 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + … + 126 + 127.
  • En büyük ana faktör 2 daha az gücün gücüdür ve sayı her zaman bu sayının bir ürünüdür ve önceki ikisinin gücüdür: 6 = 2 1 (2 2 – 1); 28 = 2 2 (2 3 – 1); 496 = 2 4 (2 5 – 1); 8,128 = 2 6 (2 7 – 1).

 

Her ne kadar Pisagorlular Altın Oranın farkında olsalar da (1.6, yaklaşık olarak 1.618’e eşit), Euclid bunu oranlar (AB: AC = AC: CB) olarak tanımlayan ilk kişiydi ve görünümünü birçok geometrik şekil içinde ortaya koydu.

 

Öklid Elemanları

Öklid’in Elementleri, bir tür şaheserdir, türümüzün entelektüel gelişiminde önemi abartılması zor olan bir dahi çalışmasıdır. Arşimed gibi eski Yunanlara ilham verdi ; Omar Hayyam gibi Persler ; ve Rönesans’tan sonra, Nicolaus Copernicus , Galileo Galilei , Isaac Newton , James Clerk Maxwell , Albert Einstein ve Thomas Gold gibi binlerce bilim adamı .

İskenderiye çalışarak, Öklid matematiksel deliller derlenmiş Pisagoryenler , Eudoxus ve diğer erken Yunan matematikçiler, bu zayıf yerde mantıksal titizlik güçlendirdi kendi kanıtlar eklendi ve çarpıcı entelektüel gücün bir eser üretti.

Öklid, bir çatıyı kaplamak için kaç karoya ihtiyacınız olduğu gibi matematikte günümüzün problemlerini çözmekten endişe duymuyordu. Amacı, her durumda sonsuza dek işe yarayacak evrensel gerçekleri keşfetmekti. Kendisine izin verdiği tek araç düz ve pusula idi.

Euclid, tüm dik açıların eşit olması gibi birkaç açıklık prensibiyle başlayarak, onları Elements’ın 13 kitaplarına yerleştiren çok sayıda daha sofistike matematik teoremini ortaya çıkardı ve kanıtladı .

Elemanlar üç alan ile ilgilidir: iki boyutta geometri; sayı teorisi; ve üç boyutta geometri.

Sınırsız sayıda asal sayı olduğuna dair olağanüstü güzel bir kanıt içerir.

Ayrıca, belki de Euclid’in iki sayının en büyük ortak bölenini hesaplamak için kullandığı Pisagor’un takipçileri tarafından tasarlanan ilk önemsiz matematiksel algoritmayı da içerir.

 

Yunan dili papirüs – Oxyrhynchus papirüs – MS 100 kadar – Öklid Elementlerinin bilinen en eski parçalarından biri.

 

Johannes Gutenberg’in hareketli tip baskıyı 1450’de piyasaya sürmesinin ardından, Euclid’in İlk Elemanları – ilk olarak 1482’de basılmıştır – yayımlanan baskı sayısında sadece İncil’den ikinci sıradadır.

Elementler

  • ‘Elements’, İskenderiye’deki Ptolemaic Mısır’daki bu eski antik Yunan matematikçi tarafından yazılan 13 kitaptan oluşan matematiksel ve geometrik bir çalışmadır c. MÖ 300.

  • Öklid’in ‘Elementleri’ tanımların, varsayımların, teoremlerin ve yapıların bir koleksiyonudur ve ayrıca önermelerin matematiksel kanıtlarıdır. 13 kitabın tümü Öklid geometrisini ve antik Yunan temel sayı teorisini kapsar.

  • Aynı zamanda, bir sayının karekökünü bulma problemi de dahil olmak üzere birçok cebirsel problemi çözmede yardımcı olan geometrik cebiri içerir.

  • Elementler, Autolycus’un “Hareket Eden Küre Üzerinden” sonraki en eski Yunan matematiksel tezinden ve mantık ve modern bilimin geliştirilmesinde etkili olduğunu kanıtladı.

  • Venedik’te 1482’de ilk kez basılan ‘Elements’, matbaanın icadından sonra basılacak en eski matematiksel çalışmalardan biridir.

  • Şimdiye kadar yazılan en başarılı ve etkili ders kitabı olarak kabul edilir ve yayımlanan baskıların sayısında yalnızca Kutsal İncil’den ikinci olduğuna inanılır. Basımın gerçekleştiği günden bu yana 1000’den fazla “Elements” baskısının ortaya çıktığı söyleniyor.

Elemanları Öklid en ünlü eseridir. Kitap mantıksal olarak on üç kitapta düzenlenmiştir, böylece referans olarak kolayca kullanılabilir.

Kitap 1 Öklid’de yirmi üç tanım, beş varsayım (veya kurallar) ve beş ortak kavram (varsayımlar) listelenir ve bunları yapı taşları olarak kullanır; bunlardan diğer tüm ispatlar ve teoremler türetilecektir. Örneğin, ilk varsayım, herhangi iki nokta arasında düz bir çizgi çizmenin mümkün olduğunu belirtir.

  • Kitap 1, düzlem geometrisi ile ilgili temel teoremleri kanıtlamaktadır.
  • Kitap 2 geometrik cebir ile ilgilenir.
  • Kitap 3 çevrelerin özelliklerini araştırıyor ve bu kitabın Pisagor ve takipçilerinin eseri olduğuna inanılıyor.
  • Kitap 4, düzenli çokgenlerin, özellikle pentagonun yapımı ile ilgilidir.
  • Kitap 5, oran ve oranın aritmetik teorisini kurar ve Eudoxus’un eseridir.
  • Kitap 6, Kitap 5’teki oran teorisini düzlem geometriye uygular.
  • Kitap 7, asal sayılar da dahil olmak üzere temel sayılar teorisi ile ilgilidir ve iki sayının en büyük ortak bölenini bulmak için Öklid algoritmasını içerir.
  • Kitap 8, geometrik seriye bakar.
  • Kitap 9, Kitap 7 ve Kitap 8’deki sonuçların uygulanmasıyla ilgilidir.
  • Kitap 10, irrasyonel sayılar teorisi ile ilgilidir ve esas olarak Theaetetus’un eseridir ve “tükenme yöntemini” içerir.
  • Kitap 11, temel tanımları veren üç boyutlu geometriyi inceler.
  • 12 nolu kitap üç boyutlu bir geometri ile devam etmekte, Eudoxus tarafından icat edildiği gibi “tükenme yöntemini” kullanarak koni, piramit, silindir ve kürelerin göreceli hacimlerini hesaplamaktadır.
  • Kitap 13, belirli bir alanda bulunan beş Platonik katıyı (piramit, küp, oktahedron, dodecahedron, icosahedron), Theaetetus’un bir çalışmasına dayanarak inceler.

Euclid’s Optik

Euclid’s Optics , ışık ve görüntü üzerinde son derece etkili bir kitaptı. Euclid ışığın davranışını Elementlerde geliştirdiği geometrik prensipleri kullanarak açıkladı . Işık teorisi, iki bin yıldan uzun bir süredir sanatsal bakış açısının, astronomik yöntemlerin ve navigasyon yöntemlerinin temelidir.

Öklid ışık ışınlarının geometrik davranışını göz önüne aldı. Bir önemli noktayı yanlış anladı – görmekte olduğumuz zamana ilişkin Yunan fikir birliğini kabul etti çünkü gözlerimiz ışın almak yerine ışın yayıyordu. Bununla birlikte, Euclid’in ışık teorisi mükemmel bir şekilde çalışır, çünkü aşağıdaki resimde görüldüğü gibi, bir ışının bir göze girip çıkmadığı önemli olan geometridir.

 

Dan Öklid’in geometrik şemalardan biri Optics . Bu şemaya dayanan argümanları kullanarak, Euclid, farklı konumlardan bakıldığında, düz bir düzlemde eşit yükseklikte nesnelerin farklı yükseklikte görünebileceğini belirler.

 

Diğer Katkılar ve Başarılar:

Öklid’de dört eser daha sağ kaldı:

  • Veri , geometrik problemler üzerine bir çalışma.
  • Geometrik şekillerin iki veya daha fazla eşit parçaya veya çeşitli oranlara bölünmesine ilişkin Şekiller Bölümleri.
  • Aynaların matematik teorisini inceleyen Catoptrics , özellikle düzlem ve küresel içbükey aynaların oluşturduğu görüntüler.
  • Phaenomena , küresel astronomi üzerine bir tez.

Bir Latin çeviri Elements İspanya’da Arap sürümü ve ilk tam İngilizce çevirisinin bir kopyasını edinmişti Bath İngiliz keşiş Adelard tarafından 1120 AD etrafında yapıldığı Elements tüccar Sir Henry Billingsley’le tarafından 1570 yılında yapılmıştır.

18. ve 19. yüzyıllarda artan bilim ve matematik gelişimi, Euclid’i Batı dünyasındaki okul ve üniversitelerin müfredatında önemli bir yer edinmiştir.

 

Kişisel Yaşam ve Miras

  • Öklid’in kişisel yaşamıyla ilgili çok fazla bilgi ve kayıt yoktur, ancak tarihçiler M.Ö. 260 yıllarında son nefesini aldığına inanır.

  • En ünlü “Element” kitabı, Campanus tarafından Arapça’dan Latince’ye çevrildi. Aynı ilk basılmış ek Venedik’te 1482’de ortaya çıktı.

  • 1570 yılında John Dee, “Element” i İngilizce olarak tercüme etti. Dee’nin dersleri İngiltere’de matematiğe olan ilgisini canlandırabiliyordu.

  • Bir İtalyan matematikçi Girolamo Saccheri, 1733 yılında Euclid’in çalışmalarını geride bırakmaya çalıştı, ancak onu reddetme girişimleri Euclid’in teorilerinde tek bir kusur bulamadığı için boşuna gitti. Sonunda pes etti ve “Her Kusurdan Kurtulmuş Euclid” i yayınladı.

  • Öklid’in geride bıraktığı mirası çok büyük. “Elementleri” dini olarak her yere taşıyan ve konuşmalarında dahi alıntı yapmak için kullanılan Abraham Lincoln gibi kişilere ilham verdi.

  • Euclid, Elucid’in formatını ve yapısını kullanarak felsefi eserlerini öne süren Newton ve Descartes gibi büyük filozofları ve matematikçileri etkiledi. Ayrıca basit ilkelerden Elucid gibi karmaşık kavramlara da geçtiler.

 

Diğer işler

  • ‘Elementler’ Öklid’in en meşhur eseriydi ve bugün bile matematiği etkilemeye devam ediyor, ancak bir çok kitap yazdı. Bu güne kadar en az 5 Euclid eseri hayatta kaldı.

  • Veri: Bu kitap 94 önermeye sahiptir ve temel olarak “verilen” bilginin doğası ve doğası ile ilgili geometrik problemlerle ilgilidir.

  • Figürlerin Bölünmesi Üzerine: Öklid’in bir başka önemli çalışması ancak kısmen Arapça tercümesinde devam etmektedir. ‘İskenderiye’nin Heron’u’ eserine (3. yüzyıl) benzemektedir.

  • Catoptrics: Aynaların matematik teorisi ile ilgili başka önemli bir çalışmadır. Ancak JJ O’Connor ve EF Robertson, ‘İskenderiye Theon’u’ gerçek yazar olarak kabul ediyorlar.

  • Phaenomena: Küresel astronomiye ışık tutuyor. Pitan’ın Autolycus’u M.Ö. 310 yıllarında gelişen ‘On The Sphere on Sphere’ ile çarpıcı şekilde aynıdır.

  • Optik: Bu çalışma perspektif teorisi hakkında bilgi paylaşmaktadır ve perspektif konusundaki hayatta kalan en eski Yunan tezahürüdür.

  • Yukarıda bahsedilen beş eseri dışında, Euclid’e atfedilen fakat kaybedilen başka işler de var. Bunlar ‘Konik’, ‘Porisms’, ‘Pseudaria’ ve ‘Surface Loci’. Bunlara ek olarak, çeşitli Arap kaynakları Öklid’i mekanik üzerine yapılan çalışmaların yazarı olarak kabul eder.

Kariyer

  • Öklid’in ‘Elemanları’, yayınlanma tarihinden 19. yüzyılın sonlarına veya 20. yüzyılın başlarına kadar matematik tarihinin en etkili eserlerinden biri olarak kabul edilir. Aslında bu dönemde matematik öğretimi için ana ders kitabı olarak görev yaptı.

  • Elementlerinde, küçük bir aksiyom dizisinden ‘Öklid geometrisi’ ilkelerini çıkardı. Öklid ayrıca perspektif, konik kesitler, küresel geometri, sayı teorisi ve titizlik üzerine çalışmalar yazdı.

  • En ünlü eseri Elements Elements’a ek olarak, bugüne kadar yaşamış en az beş Euclid eseri var. Elements’te takip edilenle aynı mantıksal yapıyı takip ediyor gibi görünüyorlar. Bunlar ‘Veri’, ‘Rakamlar Bölünmüş’, ‘Catoptrics’, ‘Phaenomena’ ve ‘Optik’.

  • Yukarıda belirtilen çalışmalara ek olarak, Euclid’e atfedilen ancak kaybedilen birkaç başka çalışma var. Bu eserler arasında “Konikler”, “Pseudaria”, “Porisms”, “Surface Loci” ve “Ağır ve Işık” sayılabilir.

 

Öklid Hakkında Bilmediğiniz En Önemli 10 Gerçek

  • “Euclid” adı “ünlü, şanlı” anlamına gelir.

  • ‘Elements’ adlı kitabı, matematiğin yayınlanma zamanından 20. yüzyılın başlarına kadar öğretmek için ana ders kitabı olarak görev yaptı.

  • Arşimed’den gelen diğer Yunanlı matematikçilerin çoğu, kendisine adıyla değil, “Öğelerin yazarı” olarak adlandırıyordu.

  • Bazı araştırmacılar, Öklid’in tarihi bir karakter olmadığı ve eserlerinin topluca Öklid adını alan bir matematik ekibi tarafından yazıldığı inancındadır. Ancak, bu hipotezi destekleyen çok az kanıt vardır.

  • Euclid’s Optics, optik perspektifiyle ilgili hayatta kalan ilk Yunan teziydi.

  • ‘Figürler Bölünmesi’ adlı çalışması, yalnızca kısmen Arapça tercümede devam etmektedir.

  • Araştırmacılar bu çalışmanın tamamen hayali olduğuna inanmasına rağmen, Arap yazarlar tarafından Öklid’in ayrıntılı bir biyografisi verildi.

  • Ortaçağ tercümanları ve editörleri sık sık Euclid’i bir asır önce yaşayan Megara filozof Eukleides’le karıştırıyordu.

  • “Elementler” de tarif ettiği geometrik sisteme, 19. yüzyılda keşfettiği Euclid dışı geometrilerden ayırt etmek için Öklid geometrisi denir.

  • Sık sık “Elementler” in Batı dünyasında üretilen tüm kitaplardan en çok çevrilen, yayınlanan ve çalışılanlardan biri olduğu söylenir.

Pisagor (MÖ.569-495)

Pisagor, kendini bir filozof olarak tanımlayan ilk insanlardan biri olduğu söylenen, ‘bilgelik aşığı’ anlamına gelen etkili bir filozoftur. Yaşamı ve öğretileri Platon üzerinde derin bir etkiye sahipti ve Platon aracılığıyla Pisagor, Batı felsefesini şekillendirmeye yardımcı oldu. Pisagor, günümüzde matematiğe, özellikle dik açılı üçgenlerle ilgili Pisagor teoremine olan katkısı ile bilinir – bu teoremi kendisinin geliştirmesi muhtemel olmasa da.

Pisagorların yaşamı için biyografik kaynakları sınırlıdır ve öldükten yıllar sonra yazılmıştır. Sonuç olarak, gerçeği efsaneden ayırmak zor olabilir.

Pisagor en çok duyduğumuz bir isim ama onun hakkında okuduklarımıza güvenebilir miyiz?

Ne yazık ki, cevap hayır. Çok fazla güvenemeyiz, çünkü öyle yaparsak, Tanrı gibi güçleri olduğuna inanmak zorunda kalacağız.

Pisagorlular denilen dinsel-matematiksel bir kültün inançlarını biliyoruz ve Pisagorluların matematikte büyük ilerlemeler kaydettiklerini biliyoruz.

Pisagor (Pythagoras), İ.Ö. 6. yüzyılda Samos’ta doğan bir İyonyalı filozof ve matematikçiydi. Günümüzde mevcut bilgilerin çoğu ölümünden birkaç yüzyıl sonra kaydedilmiştir ve sonuç olarak mevcut hesapların çoğu birbiriyle çelişmektedir.

Hem Yunanca hem de Mısırlı öğretmenlerden ders aldı. Pythagoras’ın belki de Chaldaeans ve Magi de dahil olmak üzere tüm mevcut bilgileri araştırmak için geniş seyahat ettiği söyleniyor.

Pisagor’un hem Yunanistan hem de Mısır’da gizli dini törenler başlattığına inanılıyor. Pisagor aynı zamanda müzik (lir çaldı), şiir (özellikle de Homer), astronomi ve geometri ile ilgilendi.

Bazı tarihçiler, Pisagor’un Theano adlı bir kadınla evli olduğunu ve bir kızı Damo olduğunu ve Pisagor’u öğretmen olarak kazanan ve muhtemelen Empedocles’i öğreten Telauges adlı bir oğlu olduğunu söyler.

Diğerleri, Theano’nun karısı değil de öğrencilerinden biri olduğunu ve Pisagor’un hiç evlenmemiş ve çocuğu olmadığını söylüyor.

Pisagor iyi eğitimliydi ve yaşamı boyunca lir çaldı, şiir biliyordu ve Homer’i okudu. Matematik, felsefe, astronomi ve müzikle ilgilendi ve Pherekydes (felsefe), Thales (matematik ve astronomi) ve Anaximander (felsefe, geometri) tarafından büyük ölçüde etkilendi .

Pisagor, tapınaklardaki rahiplerle çalışmak için M.Ö. 535’te Mısır için Sisam’dan ayrıldı. İtalya’da sonradan oluşturduğu toplumun uygulamalarının birçoğu, gizlilik kuralları, saflık için çaba gösterme ve fasulye yemeyi ya da hayvan derisi giymeyi giysi olarak reddetme gibi Mısırlı rahiplerin inançlarına kadar izlenebilir.

On yıl sonra, Persler Mısır’ı istila ettiğinde, Pisagor mahk andm edildi ve kendisine kutsal ayinler öğreten papazlar olan Magoi ile tanıştığı Babil’e (şu an Irak’ta olan) gönderildi. Suriyeli bir filozof olan Iamblichus (MS 250-330) Pythagoras hakkında şöyle yazdı: “Aritmetik ve müzikte ve Babililerce öğretilen diğer matematiksel bilimlerde mükemmellik yeteneğine ulaştı ...”

M.Ö. 520’de, şimdi özgür bir adam olan Pisagor, Babil’den ayrılıp Samos’a döndü ve bir süre sonra da Yarım Daire adlı bir okula başladı. Öğretim yöntemleri Samos liderleri arasında popüler değildi ve onun politikaya dahil olma arzusu ona hitap etmedi, bu yüzden ayrıldı.

Bazıları, tapınak rahipleri altında okumak için Mısır’a gittiğini ve on beş yıl sonra geri döndüklerini söylerken, diğerleri doğrudan bir okul açmak için Croton’a gittiğini söylüyor. Bununla birlikte, ana faaliyet yerinin Croton olduğu ve orada bir kardeşlik kurduğu ve matematik, felsefe ve müziğe önemli katkı yaptığı kesindir.

Pisagor olarak bilinen takipçileri, katı bir sadakat ve gizlilik sağladı. Yerleşmiş bir başka gerçek ise Pisagor’un çok seyahat ettiğidir.

Bazı hesaplar aynı zamanda Hindu Brahminler’de okumak için Hindistan’a gittiğini iddia ediyor.

Ölümüyle ilgili olarak da çelişki var; ama düşmanları tarafından öldürüldüğüne dair bir oy birliği var.

Modern fizikçiler, sayıları evreni tanımlayan inancında Pisagorlu olsalar da, çoğu gibi diğer Pisagor inancını paylaşmazlar:

  • Fasulyeleri yemek günahtır.
  • Erkekler tek sayılarla, kadınlar ise çift sayılarla temsil edilir.
  • İnsanların ruhları bedenlerinden ayrıdır. Bu ruhlar ölümden sonra yeni insan veya hayvan bedenlerinde yeniden doğar.
  • Pisagor, hayvanlarla konuşma, diğer insanlar olarak yaşadığı önceki yaşamları hatırlama, depremleri tahmin etme, rüzgârın üflenmesini durdurma ve düşmesini engelleme ve denizin dalgalarını sakinleştirme gibi doğaüstü hediyeler aldı.

Roma tarihçisi Cicero, fikirlerinden herhangi biri sorgulandığında Pisagorluların her zaman aynı cevabı vereceğini söyledi: “Usta öyle dedi.” Tabii ki Usta Pisagor’du.

 

Peki, Pisagor’un arkasındaki gerçekler nelerdir?

Pisagorlular gizli bir demetti. Pisagor hakkında bildiğimiz her şey, yaşadıktan yıllar sonra yazılmıştır. Yazılanlara inanırsak, Pisagor Dr. Doolittle gibiydi ve hayvanlarla konuşabilirdi. Bir zamanlar bir öküzle konuştu ve bir daha asla fasulye yememeye ikna etti! Pisagor’un gerçekte nasıl göründüğünü bilmiyoruz.

Pisagor hakkında gerçekleri kesin olarak belirtmek zordur. Onun zamanından hiçbir yazılı kayıt yok.

Onun hakkında bildiğimiz şeylerin çoğu, yaşadıktan sonra yüzlerce yıl yazıldı. Güvenilir olmayabilir.

Bunların özetle bir kısmı şöyle:

Pisagor, M.Ö. 570 yılında Yunan Samos adasında doğdu. Babası bir tüccardı.

Thales  tarafından Pisagora matematik öğretildi. Thales  Antik Mısır’dan Rumlara matematik getirmişti.

Thales, Pisagor’a 22 yaşındayken yaptığı Mısır’ı ziyaret etmesini tavsiye etti.

Pisagor Mısır’ı sevmiş olmalı. Orada, matematik hayatında ve ruhsal fikirlerde ustalaşarak hayatının sonraki 22 yılı boyunca yaşadı.

Pisagor Mısır’da hayattan zevk aldı.

Pisagor Mısır’ı isteyerek terk etmedi. Bir Pers istilasına yakalandı ve Babil’e esir olarak alındı.

Babilliler o zamanlar muhtemelen dünyadaki en iyi matematikçilerdi. Yaklaşık 12 yıl yaşadığı Babil’de Pisagor, muhtemelen Hindistan kadar uzaklardan matematik ve Doğu manevi fikirleri öğrendi.

56 yaşında Pisagor sonunda serbest bırakıldı. Doğum yeri Samos’a döndü. Orada insanlara, Eski Mısır ve Doğu’dan kendi fikirlerinin, matematiğinin ve mistisizminin bir karışımına dayanan yaşam felsefesini öğretmeye başladı.

İki yıl sonra Pisagor, Samos’tan ayrıldı. Orada çok fazla insan yeni fikirlerine düşmandı. Şimdi Güney İtalya’da bulunan Antik Yunanistan’ın bir parçası olan Croton şehrine taşındı.

Orada fikirleri daha verimli topraklara düştü ve Pisagorluları kurdu.

Pisagorlular, inançları sayıların gücüne dayanan dini bir mezhep veya tarikattı. Dürüstlük; basit, bencil olmayan bir hayat yaşamak ve genellikle insanlara ve hayvanlara nezaket göstermeye çalışmak ilkeleriydi.

 

Pisagorluların Yapısı

Pisagor’un iç çevresi Mathematikoi olarak bilinen güvenilir üyelerden oluşuyordu. Pisagor’un emirlerini iç çember kadar kesin bir şekilde takip etmek zorunda kalmayan daha büyük bir dış çevre çemberi vardı. Bu üyeler Akousmatikoi olarak biliniyordu. Erkekler ve kadınlar Akousmatikoi ve Mathematikoi olarak kabul edildi.

 

Çocukluk ve Erken Yaşam

  • Pisagor, MÖ 570’da Yunanistan’ın doğu Ege adası Samos’ta doğdu. Annesi Pythias’ın adanın bir yerlisi olduğu, babası Mnesarchus’un Tire (Lübnan) ‘dan bir tüccar olduğu ve mücevherle uğraştığı sanılıyor. Ayrıca iki ya da üç kardeşi olduğu söylenir.
  • Pisagor, erken çocukluğunun çoğunu Samos’ta geçirdi. Büyüdükçe, ticaret gezilerinde babasına eşlik etmeye başladı. Mnesarchus’un bir zamanlar onu Suriye’den alimler altında çalıştığı Tire’ye götürdüğü sanılıyor. Bu ilk yıllarda İtalya’yı da ziyaret etmiş olabilir.
  • Daha sonra, Pisagor farklı öğretmenler altında yoğun olarak çalışılmıştır. Şiir öğrendi, Homer’i ezberledip lir çalardı. Suriye’den alimler dışında, aynı zamanda Chaldea’nın bilge adamlarında da çalıştı. Syros Pherecydes aynı zamanda altında felsefe okuduğu ilk öğretmenlerinden biriydi. .
  • On sekiz yaşında, Pisagor, bir matematik ve astronomi ustası olan Thales’le buluşmak için Milet’e gitti. Her ne kadar Thales öğretmek için fazla yaşlanmış olsa da, toplantı oldukça verimli geçti; ona bilime, matematiğe ve astronomiye ilgi duyuyordu.
  • Pisagor Thales’in öğrencisi Anaximander altında da çalışmış olmalı. Pisagor’un daha sonraki eserleri, Anaximander’in eserleri ile çarpıcı bir benzerlik göstermektedir. Hem astronomik hem de geometrik teorileri, doğal olarak yaşlı filozofun teorilerinden gelişti.
  • MÖ 535’te Pisagor, Mısır’a tapınak rahipleri altında ders çalışması için ayrıldı. Daha önce Thales de ona aynı tavsiyeyi vermişti. Ancak, diğer hesaplara göre, o zaman Samos hükümdarı Polycrates tiranlığından kaçmak için Mısır’a gitti.
  • Pisagor, Mısır’da yaklaşık on yıl yaşadı. Gerekli törenleri tamamladıktan sonra ilk önce Diospolis tapınağına kabul edildi ve rahibeye kabul edildi. Birkaç yıl boyunca Mısırlı rahip Oenuphis of Heliopolis altında çalıştığı da inanılıyor.
  • MÖ 525’te Pers II. İmparator Cambyses Mısır’ı fethetti. Pisagor yakalandı ve Babil’e esir alındı. Burada hızla magi olarak bilinen Persli rahiplerle ilişkilendirdi ve altlarındaki müzikle birlikte matematik ve matematik bilimlerini incelemeye başladı.
  • M.Ö 522’de Pers Cambyses II gizemli koşullar altında öldü ve Somas’ın zalim hükümdarı Polycrates de öldürüldü. Bu olaylar Pisagor’a M.Ö. 520’de yapılan Somas’a geri dönme fırsatı sundu.

Daha sonra yaşam

  • Samos’a döndüğünde Pisagor, Yarım Daire adında bir okul açtı. Ancak, öğretme yöntemi farklıydı ve çok azına hitap ediyordu. Aynı zamanda, liderler kendisine hitap etmeyen şehir yönetimine dahil olmasını istedi.
  • MÖ 518’de, güney İtalya’daki üssünü Croton’a kaydırdı. Bazı hesaplar, yasa okumak için oraya gittiğini ve geride kaldığını söylüyor. Diğer hesaplar M.Ö. 530’da Mısır’a değil, Polycrates’in zulmünden kaçmak için gittiğini iddia ediyor.
  • Durum ne olursa olsun, burada hızlı bir şekilde bir grup takipçisi toplayarak ilk aşamada tam olarak öğretmeye başladığı Croton’daydı. Daha sonra, kadınlara ve erkeklere açık bir kardeşlik kurdu. Önemli ölçüde siyasi güce sahip olan dini bir cum felsefi okula dönüşmüştür.
  • Pisagorcular, Pisagor’un takipçileri olarak adlandırıldıkları için iki mezhebe bölünebilirdi. Okulda yaşayan ve çalışanlar mathematikoi veya öğrenenler olarak biliniyordu. Okulun dışında yaşayanlar akousmatics veya dinleyici olarak biliniyordu. Pisagor her iki tarikatın efendisiydi.
  • Mathematikoi, yaşamlarını ne yediklerini, ne giydiklerini ve hatta konuştuklarını tanımlayan kurallara göre yönlendirmek zorunda kaldı. Kişisel mülkiyeti yoktu ve katı vejetaryenliği takip ediyorlardı. Aksine, akousmatics kişisel özelliklerine sahip ve vejetaryen olmayan yiyecekleri yemek için izin verildi. Okula ancak gündüz devam ettiler.
  • Toplum, sadece ayinler ve törenler hakkında değil, aynı zamanda ne öğretildiği konusunda da kesin gizlilik uygulamaktadır. Bu nedenle matematiğe olağanüstü katkılarda bulunmasına rağmen, Pisagor ile takipçilerinin eserlerini ayırt etmek zor.
  • Ancak, Pisagor’un matematiğe olan katkısı asla abartılamaz. Bugün, en iyi sayı kavramıyla hatırlanıyor. Her şeyin saylara indirgenebileceğine ve bu sayıların kendi özelliklerine, güçlü ve zayıf yönlerine sahip olduğuna inanıyordu.
  • Ona göre 10 en eksiksiz sayıydı çünkü ilk dört rakamdan (1 + 2 + 3 + 4) oluşmuştu ve nokta notasyonuyla yazıldığında bir üçgen oluşturdular. Ayrıca, geometrinin fiziksel dünyayı açıklayabileceği en yüksek matematiksel çalışma formu olduğuna inandı.
  • Pisagor’un inancı matematik, müzik ve astronomi gözlemlerinden kaynaklanıyordu. Örneğin, titreşimli tellerin yalnızca tellerin uzunlukları arasındaki oranlar tam sayı olduğunda uyumlu tonlar ürettiğini fark etti. Daha sonra bu oranların diğer enstrümanlara genişletilebileceğini fark etti.
  • Ayrıca, ruhun ölümsüz olduğunu yaydı. Bir kişinin ölümü üzerine yeni bir form alır ve böylece insandan insana ve hatta hayvanların bir dizi enkarnasyon yoluyla saf hale gelinceye ve bu arınma müzik ve matematik yoluyla yapılabilir.
  • Pisagorun kendisi iyi bir müzisyendi ve liriyi iyi çalabiliyordu. Tasavvuf inancına rağmen, bazı sembollerin mistik bir önemi olduğunu ve karşıtlar arasındaki etkileşimin dünyanın temel bir özelliği olduğunu belirtti.
  • Ayrıca, Dünya’nın Kozmos’un merkezinde bir küre olduğunu da öğretti. Diğer tüm gezegenlerin ve yıldızların küresel olduğuna karar verdi, çünkü küre en mükemmel sağlam figür.

Büyük işler

  • Pisagor, geometri konsepti ile en ünlüsüdür. İlk önce bir üçgenin açılarının toplamının iki dik açıya eşit olduğunu ve dik açılı bir üçgen için hipotenüsün üzerindeki karenin diğer iki taraftaki karelerin toplamına eşit olduğunu belirlediği düşünülmektedir.
  • Bahsedilen son teorem Babiller tarafından zaten keşfedilmiş olmasına rağmen, Pisagor, bunu ispatlayan ilk kişiydi. Ayrıca, ona göre mükemmel sayı olan on taneye kadar yükselen dört sıranın üçgen şeklindeki tetrastileri tasarladığına inanılıyor.

Kişisel Yaşam ve Miras

  • Pisagor, Croton’daki ilk öğrencisi Theano ile evlendi. Ayrıca kendi başına bir filozof idi. ‘On Virtue’ adlı bir tez yazdı ve altın ortalamanın doktrini buna dahil edildi. Ancak, bazıları onun karısı değil, bir öğrenci olduğunu söylüyor.
  • Çeşitli hesaplara göre, çiftin Telauges adında bir oğlu ve Damo, Arignote ve Myia adında üç kızı vardı. Bazı kaynaklar da rakamı yedi’e çıkardı. İkinci kızları Arignote tanınmış bir bilgindi ve ‘Dionysos’un Ayinleri’, ‘Kutsal Söylemler’ gibi eserler ona aktarıldı.
  • Üçüncü kızları Myia’nın ünlü güreşçi Croton Milo ile evlendiği söyleniyor. Milo’nun Pisagor’un bir ortağı olduğu ve hayatını bir çatı çöküşünden kurtardığı da söylenir.
  • Birçok dahi gibi, Pisagor da çok açık sözlüydü ve birçok düşman yarattı. Onlardan biri, çeteyi Pisagorlara karşı kışkırttı ve kaldıkları binaya ateş açtı. Ancak, Pisagor kaçmayı başardı. Daha sonra Metapontum’a gitti ve kendisini ölümüne aç bıraktı.
  • Diğer bazı ifadeler, Agrigentum ile Syracusans arasında bir çatışmada yakalandığını ve Syracuslular tarafından öldürüldüğünü söylüyor. Ölümünün nedeni neyse, M.Ö 495’te öldüğü hesaplara göre. ‘Pisagor Teoremi’ veya ‘Pisagor Teoremi’ hala mirasını taşıyor.

Kozmolojik görüşler

Pisagorlular, dini inançları ve dikkatle matematik incelemeleri sonucunda , dünya görüşlerinden bazı önemli açılardan farklılık gösteren bir kozmoloji (evrenin yapıları ile ilgilenen) geliştirdiler; Dünyayı, evrenin merkezini daire içine alan bir küre olarak. Bu teorinin ne kadarının Pisagor’un kendisine verildiği bilinmemektedir.

Pisagor ve takipçilerinin yürüttüğü matematiksel bilgi, onu Batı düşüncesi tarihinde önemli bir figür yapmak için yeterli olurdu. Bununla birlikte, dini mezhebi ve öğrettiği öz disiplin ve özveri, çok sayıda eski inancı olduğu gibi benimsemiş, onu eski Yunan dünyasının en büyük din öğretmenlerinden biri yapmıştır.

 

Dini öğretiler

Pisagor, farklı dini gelenekleri özümsemiş ve çeşitli takipçileri çeken yeni bir dini hareket yaratmıştır.

Pisagor’un dini öğretileri, mizaç ve kendini kontrol etme üzerinde duruldu. Vejeteryan, diyet konusunda tutumlu ve basit bir yaşam tarzını savunan biri.

Pisagor mistik olarak kabul edildi ve toplumun geleneğinde gizli kalmasına rağmen takipçilerine farklı mistik uygulamalar öğretti. Bununla birlikte, başlatıcıların sessizlik, meditasyon ve kendi kendine iç içe geçme dönemleri uygulamak zorunda oldukları bilinmektedir. Muhtemel başvuru sahipleri, toplumun yüksek kademelerine başlamadan önce karakter ve eşitlik sakinliği bakımından test edildi.

Pisagor’un öğretilerinin temelinde, ruhtaki inanç ve inisiyatifin insandaki mistik unsurdan haberdar olma girişimi vardı. Reenkarnasyona (ruhun göçü) inandığı yaygın olarak kabul edilir ve bir tanesini güzel bir fahişe olarak dahil ettiği eski enkarnasyonlarından bazılarını bildiği söylenir. Reenkarnasyona olan bu inanç, çağdaş Orphic dininin kilit unsurlarından biriydi ve Pisagor, Yunanistan ve Mısır’daki tapınaklar ve mistik okullardaki çalışmaları sırasında karşısına çıkacaktı. Bu göç teorisi ayrıca insan ve hayvan bedenleri arasında hareket etmeyi de içerebilir. Xenophanes’a göre, Pisagor’un ölü arkadaşının bir köpeğin ağlamasında ağladığını duyduğu söylenir.

Gizli, ezoterik dini öğretiler sadece inisiyatif seçmek için mevcuttu, bu yüzden bilgi ve bilgi kesinlikle sınırlıydı. Bununla birlikte, gizli mistik pratiklerin ve geleneklerin, Rosicrucians ve Masonlar gibi daha sonraki gizli topluluklar üzerinde güçlü bir etkiye sahip olduğu söylenmektedir.

Tüm hesaplara göre, Pisagor’un arkadaşlığının dostluğu ve bağları, üyeleri arasında güçlü bir hareket ve kardeşlik duygusu yarattı. Ancak, arkadaş grubu da düşmanlarını cezbetti. Muhtemelen insanlar kıskanıyorlar, Pisagor’un gücü ve etkisi konusunda dışlanmışlar ya da endişeleniyorlardı. Pisagor’un sadelik ve meyveli yaşama vurgusu, diğerlerinin hoşgörüsüzlüğünün altını çizmeyi başarabilirdi; Bazı kaynaklar Pisagor’un Croton’da bulduğu ahlaksız yaşamı eleştirdiğini öne sürüyor.

Bir keresinde düşmanları, Pisagor’un arkadaşlıklarına tapınaklarından birinde saldırı düzenledi ve düzen bastırıldı. Birçok kişi gizli törenleri uygulamaya devam etmesine rağmen, bu, bursu yeraltına sürüklüyordu.

Pisagor ve takipçileri hem dine hem de bilime katkılarından dolayı önemliydi. Dini öğretileri, ruhun asla ölmediğini ve yaşamının saflığı boyunca kendisini özgürleştirene kadar bir yeniden doğuş döngüsüne mahkum olduğunu öğreten metempsis doktrinine (öğretme) dayanıyordu.

Pisagorculuk , zamanın diğer felsefi sistemlerinden sadece gerçeğin entelektüel arayışı değil, kurtuluşa yol açacak ya da günahın teslim edilmesine yol açacak bir yaşam biçimi olma biçiminden farklıydı. Pisagorculuğun önemli bir parçası tüm yaşamın ilişkisi idi. Pisagor’un ruhun bir bitki şeklinde doğabileceğine inandığına dair bir kanıt bulunmamasına rağmen, hayvan ve sebze yaşamında evrensel bir yaşam ruhunun olduğu düşünülüyordu. Bununla birlikte, bir hayvanın vücudunda doğmuş olabilir ve Pisagor, bir köpeğin atılmasında ölen bir arkadaşının sesini duyduğunu iddia etmiştir.

Pisagor, güney İtalya’daki bir Yunan kolonisi olan Crotona’ya, MÖ 518 civarında yerleşmişti ve birçok takipçisinin yaşadığı ve çalıştığı felsefi ve dini bir okul kurdu.

Pisagorlular, ne zaman konuştukları, ne giydikleri ve ne yedikleriyle birlikte davranış kuralları ile yaşadılar. Pisagor toplumun Efendisiydi ve hem orada hem de kadın olan erkeklerin takipçileri mathematikoi olarak biliniyordu.

Kişisel malları yoktu ve vejeteryanlardı.

Okuldan ayrı yaşayan başka bir takipçi grubunun kişisel mülkiyeti olmasına izin verildi ve vejeteryan olması beklenmiyordu.

Hepsi keşifler ve teoriler üzerinde topluca çalıştı. Pisagor inanıyordu:

  • Her şey sayıdır. Matematik her şeyin temelidir ve geometri matematiksel çalışmaların en yüksek şeklidir. Fiziksel dünya matematik aracılığıyla anlaşılabilir.

  • Ruh beyinde bulunur ve ölümsüzdür. Birinden diğerine, bazen bir insandan bir hayvana, saflaşma olana kadar göçmen adı verilen bir dizi reenkarnasyon yoluyla ilerler. Pisagor, hem matematiğin hem de müziğin arınabileceğine inanıyordu.

  • Sayıların kişilikleri, özellikleri, güçlü ve zayıf yönleri vardır.

  • Dünya, kadın ve erkek, aydınlık ve karanlık, sıcak ve soğuk, kuru ve nemli, hafif ve ağır, hızlı ve yavaş gibi karşıtların etkileşimine bağlıdır.

  • Bazı sembollerin mistik bir önemi vardır.

  • Toplumun tüm üyeleri katı sadakat ve gizlilik gözlemle melidir.

 

Pisagor toplumu üyeleri arasındaki katı gizlilik ve grup içindeki fikirleri ve entelektüel keşifleri paylaştığı ve bireylere kredi vermediği için, Pisagor’a atfedilen tüm teoremlerin asıl kendisinin olup olmadığından emin olmak zordur veya Pisagorluların ortak toplumundan gelip gelmedikleri.

 

Pisagor ve Matematik

Pisagor teorisi, Pisagor teoremini ispatladıktan sonra kredilendirildi – dik açılı bir üçgende hipotenüsün karesinin toplamı diğer iki tarafın karelerinin toplamına eşittir.

Pisagor’un bu teoremi ispat edip etmediği tartışmalıdır. Kaynaklar bu teorem bilgisinin Babil ve Hindistan’daki Pisagor zamanından önce olduğunu gösteriyor. Pisagor’un Matematiğe ne kadar dahil olduğunu söylemek zordur, ancak Platon, belki de Platonik bilimlerini desteklemek için Pisagor’u itibar etmeye istekliydi. Bununla birlikte, Pisagor sık ​​sık sayılar sevgisine sahip bir filozof olarak tasvir edilmiştir ve sayılar evrenin derin bir uyumunu açıkladığına inanmaktadır.

Pisagor’un gizli toplumunun Tetracty’leri kullandığına inanılıyor – üçgenler ve sembolik öneme sahip sayılar oluşturmak için düzenlenmiş 10 puanlık bir rakam. Evrenin ilahi düzenini ispatlamak için mistik bir sembol olarak kullanılmıştır. Dört satır, dört elementi, ateş, hava, su ve dünyayı simgelemektedir. On puan, daha yüksek bir düzenin birliğidir.

Tetractys – Hem matematiksel hem de mistik, mükemmel bir Pisagor sembolü.

Pisagorlulara göre 10 en yüksek sayıydı.

10, ilk dört sayı 1,2,3 ve 4 ekleyerek yapılabilir. Bu sayılar, tetrastiler için mükemmel, eşkenar bir üçgen oluşturur.

Pisagorluların da mistik güçlere sahip olduğunu düşündüğü müzikal ölçeklerde, tetractilerden sayıların oranı önemlidir.

Pisagorlular tetracty’lere dua ettiler ve ona olan inancını yemin ettiler.

 

 

 

 

Pisagorluların Tetracty’lerle ilgili duası:

  “Bizi kutsayın, ilahi sayı, tanrıları ve adamları kim yarattı! Kutsal, kutsal Tetractys, sonsuza dek akan yaratılışın kökü ve kaynağını içeren sensin! Çünkü ilahi sayı, kutsal dörde gelene kadar derin, saf birlik ile başlar; o zaman, herşeyi kapsayan, her şeyi sınırlayan, ilk doğan, hiç değişmeyen, hiç yormayan kutsal on olanın annesini, hepsinin anahtar sahibidir ”.

 

Sonunda Pisagor öğrencileri, grubun teorilerini, öğretilerini ve keşiflerini yazdı, ancak Pisagorlular her zaman için Pisagor’a Üstat olarak teşekkür etti:

  1. Bir üçgenin açılarının toplamının iki dik açıya eşittir.
  2. Pisagor teoremi – bir dik açılı bir üçgen hipotenüs kare için diğer iki tarafta karelerinin toplamı eşittir. Babilliler bunu 1000 yıl önce anladılar ama Pisagor bunu kanıtladı.
  3. Verilen bir alan ve geometrik cebirden şekiller oluşturma. Örneğin, geometrik denklemlerle çeşitli denklemleri çözdüler.
  4. İrrasyonel sayıların keşfi Pisagorlulara atfedilir, ancak Pisagor’un fikri gibi görünmemektedir, çünkü onun felsefesi ile aynı hizada olmadığı için her şey sayılardır, çünkü ona göre sayılar iki tam sayının oranı anlamına geliyordu.
  5. Beş normal katılar (tetrahedron, küp, oktahedron, ikosahedron, dodecahedron). Pisagor’un ilk üçü nasıl inşa edeceğini bildiği, ancak son iki şeyi yapmadığı düşünülmektedir.
  6. Pisagor, Dünya’nın Kosmos’un (Evrenin) merkezinde bir küre olduğunu, gezegenlerin, yıldızların ve evrenin küresel olduğunu, çünkü kürenin en mükemmel katı figür olduğunu öğretti. Ayrıca gezegenlerin yollarının dairesel olduğunu da öğretti. Pisagor, sabah yıldızının akşam yıldızı Venüs ile aynı olduğunu kabul etti.

 

Pisagor, tek ve çift sayılar, üçgen sayılar ve mükemmel sayılar okudu. Pisagorcular açıları, üçgenleri, alanları, oranı, çokgenleri ve çokyüzlü anlayışımıza katkıda bulundu.

Pisagor da müzikle matematiği ilişkilendirmiştir. Uzun yedi tel lirini çalmıştı ve tellerin uzunluğu 2: 1, 3: 2, 4: 3 gibi tam sayılarla orantılı olduğunda titreşimli tellerin ne kadar uyumlu olduğunu öğrenmişti. Pisagorcular ayrıca bu bilginin diğer müzik aletlerine de uygulanabileceğini fark ettiler.

Pisagor’un ölümünün raporları çeşitlidir. Öfkeli bir çeteyle öldürüldüğü, Agrigentum ile Syracusans arasında bir savaşta yakalandığı ve Syracuslular tarafından öldürüldüğü veya Crotona’daki okulundan yakıldığı ve daha sonra kendisini aç bıraktığı Metapontum’a gittiği söyleniyor.

Hikayelerden en az ikisi, Pisagor’un kaçmak için bir fasulye bitkisini çiğnemeyi reddettiği ve bundan dolayı yakalandığı bir manzara içeriyor.

Pisagor Teoremi bir matematiğin temel taşıdır ve matematikçiler için o kadar ilginç olmaya devam ediyor ki, Başkan Garfield’ın orijinal bir kanıtı da dahil olmak üzere teoremin 400’den fazla farklı kanıtı var.

 

Pisagorluların matematiksel başarıları neydi?

Pisagorlular Eski Yunan matematiğine büyük katkılar sağladı. Bu katkıların Pisagor’dan mı yoksa diğer Pisagorlardan mı geldiğinden emin değiliz.

Matematiğin bir kısmı Mısır ve Babil’den geliyordu, bu yüzden muhtemelen doğrudan Pisagor’dan geldi.

Pisagorlular ve Yunanlılar, diğer kültürlerin sahip olmadığı matematik için inanılmaz derecede önemli bir şey eklediler. Yunanlılar matematiği titizleştirdi, yani hiçbir şey mantıklı olarak ispatlanana kadar doğru olarak kabul edilemezdi; aynı zamanda saf matematik yaptılar – pratik amacı olmayan matematik- ve böylece modern matematikçilerle aynı önceliklere sahip ilk antik matematikçilerdi.

Her şey bir sayıdır Pisagorlular evrendeki her şeyin temeli sayılar olduğuna inanıyordu.

Sayıların Varlığı Pisagorlular, sayıların kendi başlarına var olduğunu farkeden ilk insanlardı.

Örneğin, 3 var. 3’ün varlığını haklı çıkarmak için 3 kişiye veya 3 tavuğa veya 3 satıra ihtiyacınız yoktur. Tüm sayıların kendi varlıkları vardır ve gerçek olmak için gerçek nesnelerle ilişkilendirilmeleri gerekmez.

Pisagor Teoreminin İspatı
Dik açılı bir üçgen için, diğer iki kısa kenardaki karelerin toplamı hipotenüs karesine eşittir. Pisagor bu kuralı Mısırlılar ve Babillilerden öğrendi.

Adını taşır çünkü Pisagor muhtemelen TÜM dik açılı üçgenler için doğru olduğunu ispatlayan kişidir.

İrrasyonel sayıların keşfi ve ispatı

Pisagor teoremi irrasyonel sayılar üretir.

Pisagor teoremini iki kısa kenarı 1 olan bir üçgen üzerinde kullandığınızda, hipotenüsün uzunluğunun √2 olduğunu keşfedersiniz.

Daha sonra matematiksel olarak √2 üretebilecek tam sayıların oranının olmadığını kanıtlayabilirsiniz. Bu, örneğin 1 ve 2 tam sayılarının ½ olduğu veya 3 tam sayı 3 ve 4’ün oranı olan ½ durumunun aksinedir.

Ondalık kesir olarak √2 yazmaya çalışırsanız, ondalık noktadan sonraki haneler yinelenen bir desen olmadan sonsuza kadar devam eder.

 

2

= 1.414213562373095048801688724202 ……

 

2

‘nin irrasyonel olduğuna dair matematiksel kanıt bir Pisagor tarafından bulundu.

Hippassus tarafından bulunmuş olabilir. Bazı efsaneler, Hippassus’un ispatı için veya insanlara bunu bildirmek için boğulduğunu söylüyor; Ancak, bunun için çok az kanıt yoktur.

İrrasyonel sayıların keşfi Pisagorcular için bir şoktu. Temel inançlarından biri, evrendeki her şeyin tam sayılar ve oranları kullanılarak yapıldığıydı. İnançlarını değiştirmek zorunda kaldılar, ama bu acı bir süreçti.

Bugün bile, Pisagorluların bu rakamları bulma korkusu, çılgınca ya da mantıksız bir yanlış demek için irrasyonel kelimesini kullanmamızda bizimle birlikte kalır.

 

Platonik Katıların Keşfi

Beş tane simetrik, normal 3D katı var. Simetrileri, zar olarak kullanılmalarını sağlar.

Platonik Katılar

Pisagor kendisi, muhtemelen Mısır ve Babil’deki zamanından bu yana ilk üç katının varlığını tespit etti. Diğer Pisagorcular muhtemelen diğer ikisini nasıl kuracaklarını keşfetti.

Katılar tetrahedron (4 taraf), küp (6 taraf), oktahedron (8 taraf), dodecahedron (12 taraf) ve icosahedron’dur (20 taraf).

Bu beş şekil, Plato’dan sonra Platonik Katılar olarak adlandırılır, bu şekillerin, beş Antik Yunan öğesinin temeli olduğuna inanan Platonik Katılar: Dünya, Hava, Ateş, Su ve Ruh.

Matematik ve Müzik

Pisagor, diğer her şey gibi, müziğin de tam sayı oranlarına dayandığına inanıyordu. Ayrıca iyileştirici özelliklerine de inanıyordu. Demirci çekiçleri farklı boyuttaki örslere çarptıklarında çıkan sesleri duydukları ve matematiksel bir ilişki olduğunu fark ettikleri bir hikaye var.

Lir Antik Yunanistan’da popüler bir enstrümandı.

Pisagor aslında yetenekli bir lir oyuncusuydu ve muhtemelen müzikal perdesi ile tel uzunluğu arasındaki ilişkiyi inceledi.

Müzik notalarının gerçekten tam sayı oranları tarafından yönetildiğini keşfetmiş olurdu. Pisagor’un kendi katkıları belirsiz, ancak iki Pisagor, Philolaus ve Archytis’in bu alanda çalıştığını biliyoruz.

Philolaus, bir ipin uzunluğunun yarısı kadar uzunsa, üretilen notun oktav adımında arttığını ve bir ipi üçte iki oranında düşürdüğünüzde notun adımının beşte bir oranında arttığını ve bir oktavın bulunduğunu keşfetti iki eşit yarıya bölünmemiş, dördüncü ve beşinci sıradadır.

Archytis, müzikal ilişkileri matematiksel olarak kanıtlayan ilk kişiydi.

 

Matematik ve Astronomi

Pisagor, Dünya’nın evrenin merkezinde olduğuna inanmış görünüyor. Daha sonra Philolaus gibi Pisagorlular aynı fikirde değiller. Dünyanın ve güneş dahil her şeyin merkezi ateş denilen bir şey yörüngeye dönüştüğüne inandılar.

Nicolaus Copernicus , neredeyse iki bin yıl sonra güneş sistemi hakkındaki yeni görüşünü anlatırken Philolaus’a atıfta bulundu.

 

Son

Pisagor’un MÖ 495 yıllarında yaklaşık 75 yaşında öldüğü düşünülmektedir.

Bazı eski kaynaklar 100 yaşadığını iddia ediyor. Croton’da ölmüş olabilir ya da Croton’daki güney İtalyan sahilinde Metapontum şehrinde ölmüş olabilir.

Nerede ve ne zaman öldüğünde, matematiksel mirası hala bizimle.

Adı Bilinen İlk Filozof ve Matematikçi: Miletoslu Thales

Miletli Thales Eski Yunanistan’da yaşıyordu. Tarihteki ilk bilim insanıydı.

Thales, herşeyin gerçekleştiğine inanmak yerine, yalnızca Yunan tanrılarından birinin emrettiği için, dünyanın nasıl çalıştığını açıklamak için doğadaki kalıpları aradı. Batıl inançlarını bilim ile değiştirdi.

Geometride yeni sonuçlar bulmak için tümden gelim mantığını kullanan ilk kişi oydu ve teoremlerin ispatını istemekle matematiği daha yeni bir seviyeye taşıdı.

Genel olarak onun hakkında bildiklerimiz, örneğin Aristoteles tarafından yaşadıktan sonra yüzlerce yıl sonra yazıldı.

Adını söylerken ilk heceyi vurgulayan thail-eez diyoruz .

Thales’ten önce başka bilim adamları da olabilirdi, ama öyleyse isimlerini bilmiyoruz.

Hayatın erken dönemi ve eğitim

  • Atina’nın Apollodorus’una göre, BCE’nin 2. yüzyıla ait bir Yunan alimi olan Thales, Anadolu’nun batı kıyısında, Maeander Nehri’nin ağzının yakınında bulunan antik Yunan kenti Milet’te, M.Ö. 624’de doğmuştur. Halen, Türkiye’nin Aydın ilinin altına düşer.
  • Tarih, doğum tarihini 620’lerin ortalarına yerleştiren mevcut tarihçiler tarafından desteklenmiş olmasına rağmen, yerle ilgili bir tartışma var. Çoğu bilim adamı Apollodorus’un görüşlerini kabul ederken, bazılarının Fenike’de doğduğunu, daha sonra ailesiyle birlikte Milet’e göç ettiğini iddia ediyor.
  • Thales’in biyografisi Diogenes Laërtius, MS 3. yüzyılda yazıyor, Thales’in ebeveynleri, Examyes ve Cleobuline’nin zengin ve seçkin Fenikeliler olduğunu söylüyor. Ancak bununla ilgili de bir tartışma var.
  • Pek çok alime göre, babasının adı Examyes, Semitik’ten ziyade açıkça Karyalı idi. O zamana kadar Karyalılar İyonyalılar tarafından tamamen özümsendiğinden, çoğu aslında Milesian kökenli olduklarına inanıyor. Ancak hiç kimse varlıklı ve seçkin olduklarını reddetmiyor.
  • Thales’in en az bir kardeşi olduğu, sonraki yıllarda yeğeni Cybisthus’u benimsemesi gerçeğinden açıkça anlaşılıyor. Aksi takdirde, Thales’in biçimlendirici yılları hakkında hiçbir şey bilinmemektedir.
  • Aile hayatına erkenden başlayıp ticaret sırasında Mısır ve Babylonia’yı ziyaret etmesi mümkündür. O zaman, hem Mısır hem de Babylonia entelektüel olarak Yunanlılardan daha ileriydi; matematik ve astronomide ustalardı.
  • Thales, Mısır ve Babil’deki öğretmenlerle iletişim kurmuş olmalı, çünkü Mısırlı rahiplerle geometri çalışmak için Mısır’a döndüğünü görüyoruz. Daha sonra matematik okumak için Babylonia’ya gitti. Diğer kaynaklar, zengin aileden gelen, otomatik olarak yurtdışında okumak için gönderildiğini varsayar.

Babasının adı Examyes ve annesinin adı Cleobuline idi. Masallarıyla ünlü Aesop ile aynı dönemde doğdu.

Thales, örneğin Babilliler ve Eski Mısırlılar gibi entelektüel olarak doğusundaki ve güneyindeki ülkelere göre daha az gelişmiş bir Yunan toplumunda doğdu. Babilliler usta gökbilimciler ve matematikçilerdi, Mısırlılar da bu alanlarda Yunanlıların çok ötesindeydiler.

Mısır ve Babil’de matematik, ticaret, astronomi ve inşaat projelerinde kullanıldı. Bu tamamen pratik bir bilimdi.

Gökbilimlerini incelemek için tanrıların ne düşündüğünü anlamak için gökbilimi kullanıldı.

Genç bir erkek olarak Thales, muhtemelen ailesinin iş kolu olan bir tüccar haline geldi.

Thales daha sonraki yıllarda astronomi ve matematiği öğrendiği Mısır’a gitti.

Babil’e seyahat etmiş olabilir; öyle olsaydı, Nebuchadnezzar döneminde olacaktı.

Thales Milet’e döndüğünde kariyerini değiştirdi, gelirlerinde büyük bir düşüş yaşadı ve Antik Yunanistan’ın ilk bilim adamı oldu.

 

 

Nili Sel basması için Hapi (Mısır Tanrısı)’na  ihtiyaç yok

Thales, doğal olayların üzerinde çalışılabilecek ve anlaşılabilecek rasyonel sebepler olduğunu fark etti. Örneğin, Nil Nehri’nin yıllık su basması yukarıda gösterilen nehir tanrısı Hapi olmadan açıklanabilir

Mısır’da Nil Nehri seviyesindeki yıllık artış, Krallığın hasadının başarısı için hayati öneme sahipti. Her yıl siltli nehir doğacak ve etrafındaki toprağı besinler ve nem ile dolduracaktı.

Nehir daha sonra düşer ve Mısırlılar yeni verimli arazileri toplarlardı. Nil olmasaydı Mısır Krallığı olamazdı, çünkü yağmur neredeyse hiç düşmezdi.

Mısırlılar, Nil’in taşkınlarına birçok tanrılardan biri olan Hapi’nin neden olduğuna inanıyordu . Tanrılar memnuniyetsiz olursa, nehir taşar ve kıtlık olur …

Tanrılar her ne pahasına olursa olsun mutlu tutulmak zorunda kaldılar.

Thales, Nil’in Hapi yüzünden değil, doğal sebeplerle su bastığını söyledi.

Bugünlerde de, elbette Nil taşkınlarını biliyoruz, çünkü Afrika’da mevsimsel yağmurlar daha da güneye düşer.

Aslında Thales’in asıl nedeni hakkında spekülasyon yapmış gibi görünmesine rağmen, bunu ilk anlayan Eratosthenes bir başka antik Yunanlıydı .

Gündelik olaylardan tanrılara inanmak ve doğal  olayları anlarsak  olayları  açıklayabileceğimizi ve tahmin edebileceğimize inanmak arasındaki geçiş Thales’in en büyük başarısıydı.

İnsanların, gözlemlediklerimizin altında yatan nedenleri hakkında düşünme yeteneğini ortaya çıkardı.

Bildiğimiz ilk bilimsel düşünce buydu: Thales, batıl inancı bilim lehine terk eden adamdı.

 

Zenginleşen bulutların içinde başı olan bir inek!

Karanlık bir akşam Thales, gece gökyüzüne bakarak Milet’te yürüyordu. Bir çukurun içine girdi, bunun üzerine onu ‘düşünür‘ olarak tanıyan yaşlı bir kadına güldü ve şöyle sordu: “Kendi ayaklarının altında ne olduğunu göremediğinde, göklerin sana ne söylediğini nasıl görebilirsin?

Zengin Milet kentinde insanlar Thales’e düşünmenin kimseye fayda sağlamayacağını ve bu yüzden zengin olmayacağını söyledi.

Ancak Thales, itici güçlerinin yanlış olduğunu kanıtladı.

Milet kentinin bulunduğu Ionia bölgesinde hava durumu modelleri öğrenmişti.

Bir kış mevsimindeki hava durumu, bir sonraki sezonun zeytin hasadı için nasıl mahsül olacağını gösteriyordu. Hala mevsim kışken, sonraki hasat için Milet’teki tüm zeytin preslerini kiralamak için küçük para yatırmalar yaptı. Zeytin yetiştiricileri büyük bir zeytin mahsulünün geleceğini fark etmeye başladığında, yaz aylarında Thales’in bütün zeytin preslerini kiraladığını keşfetti.

Thales, haklarını zeytin yetiştiricilerine satarak bir servet kazandı. Hiçbir fiziksel çalışma yapmadı. Zeytin mahsulünün ne kadar büyük olacağını tahmin etmek için hava durumu desenlerine ilişkin gözlemlerini uygulayarak tek başına zihin gücü bakımından zenginleşti.

Yunan zeytinlik tanrısı Aristaeus’tan yardım almasına gerek yoktu.

 

Depremler

Eski insanlar depremlerin tanrılarının öfkelerinin bir ölçüsü olduğuna inanıyorlardı. Bazı kültürlerde insan fedakarlıkları da dahil olmak üzere fedakarlıklar, öfkeli tanrıları pasifleştirmeye çalışmanın normal yoludur.

Eski insanlar depremlerin tanrılarının öfkelerinin bir ölçüsü olduğuna inanıyorlardı.

 

Thales, depremler için rasyonel bir açıklama istedi. Tüm gezegenimizin, sonsuz bir su denizinde yüzen düz bir disk olduğu ve gezegenin suda dolaşan bir dalga çarptığında depremlerin geldiği teorisini verdi. Modern bilimin yararına Thales’in yanlış anladığını biliyoruz.

Bununla birlikte, teorisi, Zeus’un bir şeyden rahatsız olduğu için dünyanın sarsıldığını söyleme konusunda çok büyük bir ilerlemeydi.

Thales, en azından depremler için rasyonel bir açıklama bulmaya çalışmıştı .

Thales’in fikirlerinin (merhametle) bir başka faydası da, hiçbir fedakarlık yapılması gerek memesiydi.

 

Siyasi Danışman

  • Thales kadar akıllı bir erkeğin kral tarafından danışman olarak görev yapması için davet edilmesi doğaldır. Bu, Medya Kralı Cyaxares ile komşu Lydia Kralı Alyattes arasında çıkan beş yıllık uzun savaş sırasında gerçekleşti.
  • Savaş altıncı yıla devam ederken, Thales 28 Mayıs 585 585 tarihli güneş tutulmasını öngördü. O günlerde tutulmalar bir kâhin olarak alındı ​​ve Thales’in öngördüğü gibi toplam tutulması neredeyse gerçekleşti, savaş hemen durdu.
  • Etkinlik, Thales’le aynı yüzyılda yaşayan bir şair ve filozof olan Xenophanes tarafından anlatıldı. Bununla birlikte, modern bilim insanları olayla ilgili şüphe duydular; Thales’in yerini, zamanını veya doğasını bu kadar doğru bir şekilde öngöremediğini iddia etmek. Bununla birlikte, bu olaydan sonra iki devlet bir müttefik oldu.
  • Lydia şimdi Perslere karşı mücadelelerinde Medya’ya katıldı. Lydia’nın ordusu bugünkü İran’a doğru ilerlerken, Thales muhtemelen kralın daveti üzerine onlara eşlik etti. Halys Nehri olarak da bilinen Kızılırmak nehrinin kıyılarına geldiklerinde durmak zorunda kaldılar.
  • Thales, krala nehrin aşağı havasında geçilebilmesi için suyun çoğunu yönlendirerek kanalın üstünü kazmasını tavsiye etti. Ancak, bu olaydan bahseden Herodot, bu konuda şüpheci oldu.
  • Lydia ile Pers arasındaki savaş Lydia’nın yenilgisiyle sonuçlandı. Miletus çatışmada yer almadığı için Persler tarafından korunuyorlardı. Thales, eve döndüğünde İyonyalılar konfederasyonunu savundu, bireysel devletler onun demoi veya semtleri haline geldi. Milet dışında bütün devletler konfederasyona katıldı.

 

Neler Yapıldı?

Thales madde hakkında derinden düşündü. Temelde, her şeyin aynı şeyden yapılması gerektiğine karar verdi – bugün olduğu gibi, tüm maddelerin atomlardan oluştuğuna inanıyoruz. Onun fikri, en temel haliyle, tüm madde sudur. Thales’in fikrinin kendi vatandaşı Democritus tarafından “tüm madde atomdur” haline dönüştürülmesi yaklaşık 200 yıl sürdü.

Thales’ten 600 yıl sonra yaşayan Antik Yunan tarihçi Plutarch, Mısırlı rahiplerin Thales’in “her şey su” teorisinin başlangıçta Mısır’dan çıktığını iddia ettiğini yazdı.

 

Astronomi

Thales Mısır’daki astronomi ve muhtemelen Babil’i öğrendi.

Ne zaman Arşimet 212 M.Ö. Syracuse Roma işgali sırasında öldürülen Romalı tarihçi Cicero olay hakkında yazdı. Bize, Romalıların Arşimed’in ayın ve gezegenlerin hareketini doğru şekilde tahmin eden, güneş ve ay tutulmalarını öngören bir makineye sahip olduğunu keşfetti. (Böyle bir makine aslında arkeologlar tarafından bulundu – Antikythera Mekanizması adı verilen inanılmaz derecede karmaşık bir cihaz .)

Romalılar ayrıca ilk Thales tarafından yapılmış olan Antikythera Mekanizmasının öncüsü olan göksel küreyi gösteren daha temel bir dünya bulmuşlardır.

Thales gezegenleri ve yıldızları Dünyadaki takımyıldızlarında gösteren bir küre inşa etti. Daha sonra Yunanlılar – muhtemelen Arşimet – bunu daha da geliştirdi ve oldukça sofistike cennetsel bir hesap makinesi – Antikythera Mekanizması inşa etti.

 

Çığır açan Matematik

Gökbilimde olduğu gibi, Thales Mısır ve belki de Babil’deki matematiği öğrendi.

Milet’te, öğrendiklerini inşa etti ve matematikte tümden gelim mantığını kullanan ve geometride yeni sonuçlar üreten ilk kişi oldu.

İlk kez matematik teoremlerinin doğru olarak kabul edilmeden önce kanıt gerektirdiğini belirledi.

Matematiği pratik bir çalışma alanından pratik uygulamalar hakkında endişelenmeden keşfedilebilecek bir alana dönüştürmeye başladı. Bu yüzden Thales, kesinti ve ispat temelli bir konu olan modern saf matematiğe büyük atılımlar yaptı, bulguları için pratik kullanımlara aldırış etmedi. (Yeterince tuhaf, pratikte kullanım için düşünülmeden saf matematik yapılsa da, saf matematikte keşifler çoğu zaman gerçek dünyada önem kazanıyor!)

Thales, matematiğin öğretildiği ve matematiğin Antik Yunanistan’da gelişmesi için zemin hazırlayan Milesian Okulu’nu kurdu. Eski kaynaklara göre, disiplini Yunanistan’a Mısır’dan getiren ve birçok önemli matematiksel keşifler yapan Thales’ti.

En önemlisi çemberin çapı tarafından ikiye bölünmesi ve yarım daireye yazılan bir üçgenin daima dik bir üçgen olması (Thales teoremi).

Bununla birlikte, Thales’in astronomik keşifleri gibi, matematiksel başarıları da bazı modern bilim adamları tarafından şüphe ile karşılanıyor.

Thales’in matematik anlayışına katkılarının önemi vurgulanamaz.

Geometri alanındaki teorik çalışması, izleyen tüm batı bilimleri üzerinde muazzam bir etkiye sahip olacaktı.

Thales, Öklid Geometrisi ismini verdikten sonra Öklid’den önce geldi. Ancak Thales olmadan, asla bir Öklid olmamıştır.

Thales’in, biseksiyon dairelerinin temel ilkelerini tanımlayan ilk kişi olduğu söylenir ve matematiksel olarak bir ikizkenar üçgeninin tabanındaki açıların eşit olduğunu gösteren ilk kişi olabilir.

Thales ayrıca iki açılı ve bir tarafın eşit olduğu üçgenlerin eşit olduğunu gösterdi.

Bu, yüce teoriden öte bir şeydi, çünkü bu prensipler, gemilerin denizdeki mesafesini bulmak gibi pratik amaçlar için kullanılabiliyordu.

Bu tür geometri anlayışları olmasaydı bugün aldığımızın çoğu imkansız olurdu. Thales’in matematiksel gelişimi, navigasyon ve mimariden mühendisliğe ve daha derin bir astronomi anlayışına kadar çeşitli pratik disiplinleri ortaya çıkardı.

Thales, kendisinden sonra gelen önemli bir teoremi ile ünlüdür.

Thales Teoremi:A, B ve C, AC hattının dairenin çapı olduğu bir daireye işaret ediyorsa, o zaman ABC açısı dik bir açıdır” diyor.

 

Tanrılara İnanç

Thales tanrıları reddetmedi. Tanrıların her şeyde var olduğuna inanıyordu. Bunun bir sonucu olarak, tüm maddelerin içinde yaşamın bir yönü vardı. Doğanın temel prensiplerini anlayarak insanların aslında tanrılarını daha iyi tanıyacaklarını ve anlayabileceklerini düşünüyordu.

Miras

Thales, Antik Yunanistan’da bilimin kurucusuydu. Bilgisini özellikle Anaximanderve Pisagor’a ileten Milesian Okulu’nu kurdu . Yunan bilimi ve matematiği, Arşimed döneminde yaklaşık 300 yıl sonra zirveye ulaştı .

Antik Yunan bilgisinin yeniden keşfedilmesi, Avrupa’daki Rönesans ve Bilimsel Devrimi tetikleyen bir kıvılcımdı ve modern teknolojik dünyamızı yönlendiren bir kursa bilim kurdu.

Batıl inançların bilim lehine reddedilmesi Thales ile başladı.

 

Aile Hayatı ve Sonu

Eski tarihçilerden gelen hesaplar, Thales’in hiç evlenip evlenmediği konusunda aynı fikirde değildir. Bazıları evlendiğini ve bir oğlu olduğunu söylüyor. Diğerleri evlenmediğini, ancak yeğenlerinden birine oğluymuş gibi davrandığını söylüyor.

Thales MÖ 546 yılında 78 yaşlarında öldü.

Zenon (M.Ö. 495-435)

   Zenon, İ.Ö. 5. yüzyılda (495-435) yaşamış Elea’lı ve bugün üzerine pek az bildiğimiz Eski Yunanlı bir filozoftur. Ne yazık ki günümüze hiçbir yapıtı kalmamıştır. Zenon üzerine bildiklerimizi daha çok Eflatun’a (Parmenides adlı yapıtına) ve Aristo’ya (Fizik adlı yapıtına) borçluyuz. Zenon kolay kolay yutulmayacak bir düşüncenin savunucusu olan Parmenides’in sadık bir öğrencisiydi. Parmenides şu inanılmaz düşünceyi savunuyordu:
Gerçek tektir ve değişmez.
Çokluk, değişim ve hareket aslında yokturlar ve duyularımızın bizi kandırmasından kaynaklanırlar…
Zenon hocasının felsefesiyle alay edenleri susturmak için dört paradoks geliştirir. Zenon’un günümüze kalmasını sağlayan aşağıda açıklamaya çalışacağım (ve ne derece ciddi olduklarını göstermek amacıyla savunacağım) işte bu dört paradokstur. Bugün, yani 2500 yıl sonra bile, bu dört paradoks üzerine tartışma dinmemiştir ve gün geçtikçe filozoflar bu konuda daha fazla düşünce üretmektedirler. Bertrand Russell, Henri Bergson, Alfred North Whitehead, Zenon’un paradokslarını konu etmiş çağdaş filozoflardan birkaçıdır. Sanırım Hegel de konu etmiştir.
Tolstoy Savaş ve Barış’ında Zenon’un paradokslarından söz eder.

Zeno, MÖ 495 civarında güney İtalya’daki Yunan Elea kolonisinde doğdu. Onun hakkında çok az şey biliniyor. O Orada genç bir Sokrates bir araya geldi ve bir gösterimin yeterince Platon’un kitaplarından birinde bir karakter olarak dahil edilecek yapılan filozof Parmenides’in öğrencisiydi ve 449 M.Ö. Atina’ya bir gezi hocasına eşlik etti.

Elea’ya döndüğünde siyasette aktif oldu ve nihayet kentin tiran Nearchus’una karşı bir komploda yer aldığı için tutuklandı. Komplodaki rolü nedeniyle ölümüne işkence gördü. Sorgulanmasıyla ilgili birçok hikaye ortaya çıktı.

Bir fıkra, kaptanları, diğer komplocuları ortaya çıkarması için onu zorlamaya çalıştığında, tiranın arkadaşlarını seçtiğini iddia eder.

Diğer öyküler, dilini ısırıp, zorbaya tükürdüğünü veya Nearchus’un kulağını veya burnunu ısırdığını belirtiyor.

Zeno’nun kendi kendini yetiştirmiş bir köylü çocuğu olduğu söylenir.

Zeno, hıyanet veya ona yakın bir suç ile başı kesilerek öldürülmüştür.

Diogenes Laertos’a göre, Zeno doğduğu şehrin tiranı tarafından işkence ile öldürüldü.

Zeno, varlığın birliğini kabul ettirmek için, haklı olarak ün yapmış kanıtlarıyla, hareketin olanaksızlığını göstermeye çalıştı.

Zeno’nun paradoksları üzerine her çağın en büyük bilginleri kafa yormuşlardır. Olmayan ergi yöntemi çok erken bir tarihte bu paradokslara parlak bir biçimde uygulanmıştır.

Başlıca eserleri, ”Tabiat Üstüne”, ”Karşı Fikirler” ve Emperdokles üstüne eleştirili bir “Yorumlama” dır.

  • Zenon muhteşem zekasıyla -ki Platon onu diyalektik imgelem gücü nedeniyle Elealı Palamedes diye tanımlar- hocasının savlarını pekiştirecektir. Bunu yaparken kendi geliştirdiği dolaylı argümanlarla örülü bir diyalektik kuracaktır.
  • Zenon’un alameti farikası felsefeye kattığı diyalektik akıl yürütme yöntemidir.
  1. Aristoteles’e göre diyalektik: muhtemel veya akla yakın, çoğunluk tarafından kabul edilen öncüllerden hareketle, yine akla yatkın, ikna edici gibi görünen sonuçlara, yani dar anlamda bilimsel olmayan sonuçlara varan bir akıl yürütmedir.
  2. Bilimsel akıl yürütme olan apodiktik akıl yürütmenin altında olan diyalektik, kesin olarak bilimsel değeri olmayan, aldatıcı olarak doğruymuş gibi görünen sofistik akıl yürütmelerdir.
  3. Diyalektikte kullanılan önermeler bilimsel değil, yalnızca tartışmayı mümkün kılan, yaygın olarak kabul edilen kabullerle gerçekleşir.
  4. Diyalektiğin faydası bilimsel olarak kanıtlanması mümkün olmayan bazı şeyleri dolaylı olarak kanıtlamaya yaramasıdır. Örneğin özdeşlik ilkesi böyle bir kanıtlamaya ihtiyaç duyar.
  5. Bu doğrudan kanıtlanamaz çünkü herhangi bir ilkenin kanıtlanması zaten bu ilkeye dayanır.
  6. Özdeşlik ilkesinin kanıtlanması mümkün değildir, özdeşlik ilkesi sayesinde herhangi bir kanıtlama yapılabilir.
  7. Özdeşlik ilkesi, bu ilkeyi kabul etmeyen insanların görüşlerinin yanlışlığı veya saçmalığı gösterilerek dolaylı olarak kanıtlanabilir. Bu “saçmaya indirgeme” yoluyla dolaylı kanıtlama veya dolaylı çürütmedir.
  8. Zenon’un uyguladığı yöntem budur. O Parmenides’in görüşlerine karşı çıkanlara, yani hareketi ve çokluğu kabul edenlere, bu kabulün ortaya çıkaracağı saçma sonuçları göstererek mümkün olmadığını kanıtlamaya çalışır.
  9. Yani önce hareketin ve çokluğun varlığını teslim eder, sonra bunlarla saçma sonuçlara ulaşır ve dolaylı olarak hareket ve çokluğun olduğu iddiası doğru değilse, tam tersi, yani hareketin ve çokluğun olmadığı ilkesi doğru olacaktır.
  10. Zenon’un amacı Parmenides’İ olumlamak, onu doğru ve haklı çıkarmaktır.

Zeno, bir filozof ve logistti, matematikçi değildi. Aristoteles, diyalektiğin icadıyla, bir arguer’in bir öncülü desteklediği, bir diğeri ise fikri saçmalamayı azaltmaya çalıştığı bir tartışma şekli olarak gösterildi. Bu tarz, büyük ölçüde, içsel bir çelişki bularak saçma bir fikrin azaltılması olan, absürdün azaltılması sürecine dayanıyordu.

Argümanların amacı, öğretmenin fikirlerini savunmaktı. Parmenides, gerçekliğin bir, değişmez ve değişmez olduğuna inanıyordu. Hareket, değişim, zaman ve çoğulculuk sadece yanılsamalardı.

Bu, tabii ki, birçok eleştirmen çekti. Zeno’nun paradoksları, zıt pozisyonu tutmanın, gerçekliğin çok fazla olduğunu, çelişkili ve saçma olduğunu göstermeye çalıştı. Bu nedenle, “bir” doğru felsefe olmalıdır.

 

 

Aşil’le Kaplumbağa Yarışı

   Zenon, paradokslarının birinde, yarıtanrı Aşil’le kaplumbağayı yarıştırır. Kaplumbağa Aşil’den çok daha yavaş olduğundan, Aşil’in önünden başlar yarışa. Zenon, Aşil’in kaplumbağayı hiç yakalayamayacağını savunur.

   Gerçekten de Aşil’in kaplumbağayı yakalayabilmesi için, önce kaplumbağanın yarışa başladığı ilk noktaya erişmesi gerekmektedir. Aşil bu noktaya eriştiğindeyse, kaplumbağa biraz daha ilerde olacaktır. Şimdi Aşil, kaplumbağanın bulunduğu bu yeni noktaya erişmelidir. Aşil, kaplumbağanın bulunduğu bu yeni noktaya vardığındaysa, kaplumbağa biraz daha ilerde olacaktır. Çünkü kaplumbağa durmamaktadır. Bu böyle sürer gider ve Aşil kaplumbağaya hiçbir zaman erişemez.
Yaşamda böyle olmaz demeyin. Parmenides de, Zenon da, sizin gibi, yaşamda Aşil’in kaplumbağayı yakalayacağını biliyorlar. Ancak, gördüğümüzün gerçek olmadığını, duyularımızın bizi aldattığını ileri sürüyorlar.
Bu paradoks üzerine biraz düşünelim. Aşil yarışa kaplumbağanın 100 metre gerisinden başlasın. Aşil saniyede 100 metre koşsun. Kaplumbağa da saniyede 10 metre koşsun. Varsayalım ki öyle…
Aşil’in yarışa başladığı noktaya Ao adını verelim.
Aşil bir saniye sonra kaplumbağanın bulunduğu ilk noktaya, A1 noktasına erişecektir.
Bu bir saniyede kaplumbağa 10 metre yol alacaktır ve A2 noktasına varacaktır.
Aşil A2 noktasına 1/10 saniye sonra varacaktır.
Bu 1/10 saniyede kaplumbağa 1 metre gitmiş olacaktır.
Aşil bu 1 metreyi, 1/100 saniyede koşacaktı

Paradoks olur da matematikçiler boş durur mu? Matematikçiler bu paradoksu çözmüşler.
Şöyle çözmüşler:
Aşil Ao noktasından A1 noktasına 1 saniyede koşar
Aşil A1 noktasından A2 noktasına 1/10 saniyede koşar
Aşil A2 noktasından A3 noktasına 1/100 saniyede koşar
Aşil A3 noktasından A4 noktasına 1/1000 saniyede koşar
… … …
Demek ki, der matematiçiler,
Aşil,
1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + …   saniyede kaplumbağaya erişir.
Basit bir aritmetik bu sonsuz toplamın 10/9 olduğunu gösterir
   Dolayısıyla Aşil kaplumbağayı 10/9 saniye sonra, yani 2 saniyeden, hatta 1,2 saniyeden az bir
zamanda yakalar.
Hesaplamak istediğimiz 1 + 1/10 + 1/100 + … sonsuz toplamına S adını verelim :
S= 1 + 1/10 + 1/100 + …
Şimdi S’yi 10’la çarpalım :
10.S= 10 + 1 + 1/10 + 1/100 + … = 10 +S
Bu eşitlikten de S’nin 10/9 olduğu çıkar… Aslında çıkmaz…
Ancak, S’nin sonlu bir toplam olduğunu biliyorsak yukarıdaki hesaplar
S= 10/9 verir. Örneğin,
T= 1 + 10 + 100 + 1000 + …   sonsuz toplamı olsun.
T’nin sonlu olamayacağı besbelli.  T’yi 10’la çarpalım :
10.T= 10 + 100 + 1000 + … =T−1
Bundan da
T=−1/9 gibi saçma bir sonuç çıkar.
Öte yandan okur, bize bu yazılık güvensin, S sonlu bir sayıdır ve 10/9’a eşittir.
   Filozoflar bu yanıttan pek hoşnut kalmazlar. Her şeyden önce sonsuz toplamdan rahatsız
olurlar. Matematikçilerin matematik yaparken sonsuz tane sayıyı toplamalarına söz etmezler, göz
yumarlar, ama gerçek yaşamdan alınmış bir probleme uygulanmasına karşı çıkarlar. Matematiğin
gerçek yaşama her zaman uygulanabildiği nereden biliniyor?
Matematik, doğa yasalarını bulmaya çalışır. Bunu da oldukça iyi başarır. Örneğin matematik sayesinde uçaklar, trenler, binalar yapılır, hatta aya gidilir. Matematiğin birçok uygulaması vardır. Bu uygulamalar matematiğin doğayı anlamamızı sağlayan başarılı bir yöntem olduğunu gösterir. Ama her yere her zaman matematik uygulanabilir mi?
   Örneğin, iki elma artı üç armut beş meyve eder, çünkü 2 + 3 = 5’tir. Ama bu matematiksel gerçeği iki litre suyla üç litre alkole uygularsak, beş litre sıvı elde edeceğimiz çıkar, ki bu da yanlıştır. Demek ki matematiği
uygularken dikkatli olmalıyız.
Doğa, matematiğin tam bir modeli değildir. Doğa matematiğin ancak yaklaşık bir modeli olabilir.
Üstelik, yukardaki hesap, Aşil’in kaplumbağayı 10/9 saniyede yakalayacağını göstermiyor.
Yukardaki hesap gösterse gösterse Aşil’in kaplumbağayı eğer yakalarsa 10/9 saniyede yakalayacağını gösteriyor. Aşil’in kaplumbağayı yakalayıp yakalamadığını bilmiyoruz ki, ne zaman yakalayacağı sorusunu sorup yanıtlayalım…
Sorumuz, Aşil’in kaplumbağayı ne zaman yakalayacağı değil, yakalayıp yakalayamayacağı…
Yanlış anlaşılmasın, çağdaş filozofların çoğu – hepsi değil ama – Aşil’in kaplumbağayı yakalayacağına inanıyorlar.
Filozofların derdi bu değil.
Filozofların derdi Zenon’un paradoksu…
Zenon’un paradoksunda yanlış nerede?
Eğer mantığımızı kullanarak saçma bir sonuç kanıtlarsak, mantığımızda (yani ya varsayımlarımızda ya çıkarım
kurallarımızda) bir yanlış var demektir. Bu yanlışı bulmalıyız.
Zenon’un bu paradoksunda bir başka sorun daha var.
O da şu: Aşil kaplumbağayı yakalamak için sonsuz tane iş yapmalı; önce
A1 noktasına gitmeli, sonra A2 noktasına gitmeli, sonra A3 noktasına gitmeli…
Sonsuz tane iş yapabilir miyiz? İşte en önemli soru bu. Matematikçi kendi düşünsel dünyasında sonsuz tane sayıyı toplayabilir, ama biz, yaşamda, sonsuz tane sayıyı toplayamayız. Sonsuz tane iş yapamayız.
En azından sonsuz tane iş yapabileceğimizi düşünmek oldukça zor.
Yoksa Aşil kaplumbağaya erişmek için sonlu tane mi iş yapıyor?
Bu soruya geçmeden önce Zenon’un ikinci paradoksundan söz edelim.

İkiye Bölünme Paradoksu

   Zenon, salt Aşil’in kaplumbağayı yakalayamayacağını söylemekle yetinmiyor. Aşil’in bir noktadan bir başka noktaya gidemeyeceğini de söylüyor.
Diyelim Aşil  A noktasında ve B noktasına gidecek.
Aşil A’dan B’ye gitmek için önce yolun yarısına gitmeli.
Yolun yarısına gittikten sonra kalan yolun yarısına gitmeli. Daha sonra kalan yolun yarısına…
Bu böylecene sonsuza değin sürer.
Diyelim
A’yla B arasındaki uzaklık 1 metre. Aşil önce 1/2 metre gitmeli.
Gittiğini varsayalım.
Geriye 1/2 metre kalır.
Şimdi Aşil kala n bu 1/2 metrenin yarısına gitmeli, yani 1/4 metre daha gitmeli.
Geriye 1/4 metre daha kalır. Aşil bu kalan 1/4 metrenin yarısına gitmeli, yani1/8 metre daha gitmeli…
Daha sonra 1/16 metre daha gitmeli…
  Eğer attığınız her adım önceki adımın yarısını ölçerse, o zaman sonsuz sayıda adım atsanız bile, kat edilen toplam mesafe ilk mesafenizin iki katını ölçer:

1  + 1/2 + 1/4 + 1/8 +1/16 +1/32 + 1/64 + ……..

Aşil sonsuz iş yapamayacağından
B noktasına varamaz…
Havada uçan bir oka bakalım.
Okun sonsuz tane iş yaptığını, yani sonsuz tane noktadan geçtiğini varsayalım.
Beynimiz okun sonsuz noktadan geçişini algılayabilir mi?
Bunu düşünmek oldukça zor. Olsa olsa beynimiz okun havada sonlu tane fotoğrafını çekiyordur ve bu fotoğrafları
bir sinema şeriti gibi gözümüzün önünden geçiriyordur. Bu konuya birazdan geleceğim.
Paradoksa geri dönelim.
Ama şimdilik, beynimizin dış dünyayı sonlu biçimde algıladığını aklımızda tutalım.
Okur belki sonsuz tane iş yapabileceğimizi düşünüyordur: birinci iş, ikinci iş, üçüncü iş…
O zaman sonsuz iş yapmaya sondan başlayalım!
Birinci paradoksa çok benzeyen bu ikinci paradoksu biraz değiştirip, Aşil’in,
bırakın B noktasına gidememesini, yerinden bile kımıldayamayacağını da kanıtlayabiliriz.
Gerçekten de Aşil’in A’dan B’ye gidebilmesi için önce yarı yola gitmesi gerekir.
Yolun yarısına gidebilme si için önce yolun dörtte birine gitmesi gerekir.
Ama daha önce yolun sekizde birine gitmesi gerekir…
Daha önce de on altıda birine gitmesi gerekir…
Dolayısıyla Aşil A noktasından öteye adımını atamaz bile.
İlerleyebileceği bir nokta yoktur ki! Gideceği her noktanın önce yarısın a gitmesi gerekmektedir.
Yoksa A’yla B arasında ve A’dan hemen sonra gelen bir nokta mı var?
Galiba öyle…

Paradoksun ikiye bölmekten kaynaklandığı kesin. Aşil’in gitmesi gereken fiziksel uzaklığı hep ikiye bölüyoruz. Demek ki fiziksel uzaklığı (uzayı) durmadan ikiye bölemeyiz. Demek ki bir zaman sonra ikiye bölemememiz gerekir. İkiye böle böle, bir zaman sonra öylesine küçük bir uzaklık elde ederiz ki, elde edilen bu mini minnacık

uzaklık bir kez daha ikiye bölünemez. Bir başka deyişle, uzay sürekli değildir.
Uzay, bölünmeyen en küçük uzay parçacıklarından oluşmuştur. 20. yüzyılın parçacık kuramı da bu yönde düşünmemiz gerektiğini söylemiyor mu zaten? Bu uzay parçacıklarına uzaybirim diyelim

(Bergson bu paradoksları ve aşağıda açıklayacağım ok paradoksunu şöyle çözmeyi öneriyor: Bir hareketin

belirlenmesi için hareketin başladığı ve bittiği noktaların verilmesi gerekmektedir. Okun hareketini ikiye bölmek demek, bir hareketin değil, iki hareketin olduğunu göstermek demektir. Okun hareketini ikiye bölmeye hakkımız yoktur. Okun bir ve bir tek hareketi vardır. Okun aldığı yolu ikiye bölebiliriz ama okun hareketini ikiye bölemeyiz.)
Uzayın uzaybirimlerden oluştuğunu kanıtladık (!). Her uzaklık sonlu sayıda uzaybirimden oluşur.

Üçüncü Paradoks(Hareket Yoktur)

Zenon’un üçüncü paradoksuna göre, hareket yoktur, hiçbir şey hareket edemez. Uçan bir ok ele alalım örnek olarak. Okun hareket ettiğini sanıyoruz değil mi?
Zenon yanıldığımızı kanıtlıyor.
Ok her an durmaktadır. İnanmazsanız okun havada bir fotoğrafını çekin.
Fotoğrafta okun durduğunu göreceksiniz.
Demek ki ok her an durmaktadır. Ok her an durduğuna göre hep duruyor demektir. Öyle değil mi?
Okun hareket edebilmesi için en az bir an hareket etmesi gerekmektedir. Oysa ok her an durmaktadır. Her an durmakta olan ok hep durmaktadır.
Uzayın sürekli olamayacağını yukarıda gördük.
Uzay küçük, çok küçük, bölünemeyen uzaybirimlerinden oluşmuştur.
Okun bir uzaybirimi uzunluğunda olduğunu varsayalım.
Uzaybirim uzunluğundaki ok, bir uzaybiriminin içinde hareket edemez, çünkü okun o uzaybiriminde hareket edebilmesi için, okun uzay biriminden daha kısa olması gerekir ki, uzaybirimden daha kısa bir nesne olamayacağını biliyoruz. Her uzaybiriminde hareketsiz duran ok, hep hareketsizdir.
Sinema da öyle değil midir? Sinema ekranında yürüyen bir insan aslında yürümeyen binlerce insan resminin gözümüzün önünden hızla geçmesi değil midir? Doğada hareket de aslında hareketsizlik değil midir?
(Bunların benim düşüncelerim olmadığını, Zenon’un düşünceleri olduğunu anımsatırım. Okuru kışkırtmak amacıyla, kendimi Zenon’un yerine koyarak Zenon’un paradokslarını savunur görünüyorum.)
Uçan ok her an durmaktadır. Ama bir sonraki uzaybiriminde var olmaktadır. Bergson’un da dediği gibi, aynen sinema ekranında yürüyen bir insan örneği, ok bize hareket edermiş gibi görünmektedir. Oysa her an durmaktadır.

   Tekdüze davranan nesneler ya sürekli hareket, ya da sürekli durağan halde davranmak zorundadır olarak belirlenebilir. Zira Zenon, bu bilgiler ile hareketin imkansız olacağının farkına varmıştır. Madde, aynı zamanda iki farklı noktada olamıyorsa, sürekli hareket nasıl gerçekleşebilecekti?

Yaydan çıkarak hedefe, hiçbir başka hareket yapmadan ulaşır. Pekala, ok madem tekdüze bir haldedir o zaman ok, seçili bir zamanda sadece bir noktada durağan halde bulunmak zorundadır. Zira, tekdüze nesneler böyle hareket eder. Ok, art arda eklenmiş birim zamanlarda yol katettiği üzere, her seçili zamanda “tekdüze durma” zorunluluğuna sahiptir. Bu sayede, ok asla hedefini bulamayacaktır.

Zaman en küçük ölçü ve bölünmez olan anlarının, oluşur. Bir ok ya hareket halinde ya da hareketsizdir. Bir ok hareket edemez, çünkü hareketin gerçekleşmesi için, ok bir anın başında bir yerde ve bir anın sonunda başka bir yerde bulunmalıdır. Bununla birlikte, bu, anın bölünemez olduğu anlamına gelir ki bu imkansızdır, çünkü tanım gereği, bölünmezler.

Hareketin sürekliliği fikri, yıkılması inanılmaz zor bir fikirdir. Matematikte, diferansiyel ve integral hesapta, değişimin, devinimin sürekliliği oldukça açık bir şekilde önümüze seriliyor. Özellikle türev ve integral, en basit değişim dinamiklerinde dahi, oldukça doğru sonuç çıkarıyor. Zenon da, hareketin sürekliliğini ve gerçek hayatta yarışçıların yarışları tamamlayabildiğini biliyordu.

Süreksiz ve “sıçramalı” hareket fikrinin ne kadar sağlıksız olduğunu göstermek için bu paradokslara başvurdu.

Dördüncü Paradoks (Uzay Paradoksu).

   Zenon’un son paradoksunu anlamak kolay değil. Yukarda da dediğim gibi Zenon’dan yazılı bir yapıt yok elimizde. Zenon’un paradokslarını bize aktaran Aristo. Aristo’nun aktardığı biçim pek anlaşılır gibi değil. Bu yüzden dördüncü paradoksun çeşitli yorumları var. Vereceğim yorum Aristo’nun aktardığı yorum değil ama ona çok yakın.
Yukarda, uzayın sürekli olmadığını, bölünmeyen  uzaybirimlerden oluştuğunu kanıtladık, daha doğrusu Zenon kanıtladı.

   Her şey varsa ve her şey uzaydaysa uzay nerededir? Eğer uzay başka bir uzaydaysa bunu sonsuza kadar götürebiliriz, öyleyse uzay gerçekten var değildir.

Şimdi aşağıdaki şekle bakalım

Her kare bir uzaybirimini simgelesin.
Sol üst köşede A nesnesi, sağ alt köşede B nesnesi var.
A ve B aynı anda ve aynı hızla “hareket” etsinler. A sağa, B sola gitsin.
Bir zaman sonra A sağdaki karede, B de soldaki karede olur.
Şimdi paradoksal soruyu soralım:
A ve B nerede karşılaştılar?
Hiç karşılaşmadılar! Çünkü aralarında karşılaşabilecekleri bir yer yok!

 

Zenon’un Parmenides’i desteklemek için yaptığı savunmalar bunlar ve benzerleridir ama yunan düşüncesi “varlık vardır; var olmayan var değildir” söylemine takılıp kalmayacak, çoğulcu materyalistler hem varlığı, hem oluşu kabul etmek ve açıklamak ihtiyacını duyacak ve çalışacaklardır. Onun çabaları sonsuz, sürekli, sayı, uzay, zaman, hareket gibi temel kavramların felsefi analizine büyük katkıda bulunmuştur. Onun felsefe tarihi içindeki önemi de her şeyden çok bu kavramlar üzerine tuttuğu ışıktan ileri gelmektedir.

Paradoksların kısıtlayıcı ve ayırıcı bilgileri;
1.Madde, gözlemlenen hareketi icra ederken, herhangi bir zamanda, herhangi bir mekanda durağan pozisyonda olma zorunluluğuna sahiptir.
2. Doğada madde, aynı zamanda iki farklı yerde bulunamaz. Madde, seçili zamanda sadece bir yeri kaplayabilir ve, hızına rölatif olarak belirlenecek zaman farkından düşük sürede, başka bir mekanda bulunamaz.
3. Tekdüze davranan nesneler ya sürekli hareket, ya da sürekli durağan halde davranmak zorundadır. Olarak belirlenebilir. Zira Zenon, bu bilgiler ile hareketin imkansız olacağının farkına varmıştır. Madde, aynı zamanda iki farklı noktada olamıyorsa, sürekli hareket nasıl gerçekleşebilecekti?

Zenon’dan çok çok sonra, Aristo “Physica” kitabında, Zenon’un üç atlısına cevap vermiştir. Aristo’ya göre, asıl mevzu Zenon’un paradokslarını farklı yorumlamaktı.

Aristo, Zenon’un paradokslarını çözerken, “sonsuz uzay ve mekan” temelinden yararlandı, aslına bakarsak bu tanım bize hiç yabancı değil…her gün iç içe olduğumuz bir durum bu. Sonlu sonsuzluk!

En yakınınızda duran cetveli hemen alın ve inceleyin. Sayılar arasında, ufak çizgiler bulunur. Bu cetveli bir sayı doğrusu olarak düşünün. Bir ve iki arasındaki ufak çizgiler ise, kesirli sayılar olacaktır.

1, hemen ardından, 1.1, 1.2, 1.3, 1.5…2, 2.1, 2.2,2.3…şeklinde gidecektir.

Pekala, 1 ile 1.1 arasındaki ilk “sıçrayış” ne zaman gerçekleşiyor? Aslına bakarsak, hiçbir zaman.

Zira, 1 ile 1.1 arasında sonsuz sayı vardır.

1.1 ile, 1.2 arasında da!

Bu tarz durumlara, “sonlu sonsuz” denir. İki sonlu veri arasındaki, sonsuz verilerdir.

Aristo da, Zenon’un paradokslarını bu şekilde çözmüştür. Sonsuz mekan ve zamanda koşmaya başlarsak, sonsuza kadar ilerlemeye çalışıp, “hareketimizin” sorgulanmasına sebep oluruz. Fakat, yarışın hem zamanen, hem de mekanen bir sonu vardır. Bu sayede, ne kadar “yarımlara” bölünüyor olsa da, bahsedilen yarışı sonlandırabiliriz. Zira, hem zaman hem de mekan kısıtlaması vardır.

Aynı açıklamayı, Akhilleus ve Kaplumbağa Paradoksu için de yaptı. Akhilleus ile kaplumbağa arasındaki mesafe de sonludur. Biz, her ne kadar iki sayı arasında sonsuz sayı bulunsa da, hiçbir sorun yaşamadan sayabiliyorsak, Zenon’un koşucusu da aynı şekilde yarışı bitirebilirdi.

Aristo, Ok Paradoksu’na da aynı çözümü uygulamıştır. Uçan okun, yeteri kadar birim zamana bölünüp, akışı ile gözlemlendiğinde, bu “karelerin” akıcı bir hareket sergileyeceğini düşünüyordu. Fakat, bu iki beyefendiden de çok sonra, Werner Heisenberg, Zenon’un “Bir cisim, birim zamanda hem harekete, hem de konuma sahip olamaz.” görüşünü biraz daha ileri götürerek, Nobel kazanmayı başardı.

Zira, parçacığın birim zamanda, hem hızını, hem de konumunu eşit kusursuzlukta bilebilmek, imkansızdı.
Heisenberg belirsizlik ilkesi, kendi makalesini hak edecek düzeyde ağır bir konu. Sürekli ve süreksiz hareket kavramları, her gün karşılaştığımız hareketin ve sayıların doğasının aslında ne kadar büyüleyici olduğunu tekrar önümüze serdi.

Her ne kadar dört argüman mantıksız görünse de, kafa karıştırıcı olmaktan ziyade, açıklamak ve matematik için çok ciddi sorunlara yol açmak o kadar basit değildir. Gerçek yakınsama ya da sonsuzluk kavramı olmayan Yunanlı matematikçiler için, bu akıl yürütmeler anlaşılmazdı.

Aristoteles, Zeno’nun paradokslarının gelecek 2500 yıl boyunca matematiksel dolaba gizlendiğini ve neden olmadığını göstermeden, onları “yanlış” olarak attı.

O zamanlar, esas olarak felsefenin yenilikleri olarak azaltıldılar. Ancak, yirminci yüzyılda Bertrand Russell ve Lewis Carroll gibi insanların çabalarıyla matematiksel olarak canlandılar. Bugün, yakınsak seriler ve Cantor’ın araçlarıyla donanmış Sonsuz kümeler üzerine kuramlar, bu paradokslar bazı memnuniyetle açıklanabilir.

Bununla birlikte, bugün bile tartışma hem paradoksların hem de rasyonelleşmelerin geçerliliği konusunda devam ediyor.

Yunanlıların Elea filozof Zeno’suna (MÖ 495-435) atfedilen unutulmaz paradokslar nedeniyle sonsuzluk fikrine ulaştığına dair kanıtlarımız var.

Zeno, bu İkilem paradoksu, mekanın ve zamanın sonsuz bölünebilirliği varsayımı altında hareketin asla başlayamayacağını iddia etmek için kullandı.

Bu paradokslar, sonsuzluk kavramının kullanımı tarihindeki ilk örneklerdir. Sınırsız sayıda adımın hala sınırlı bir toplamı olabileceği şaşırtıcı sonucuna “yakınsama” denir.

Aşil’in veya bir odadan ayrılmaya çalışan kişinin daha küçük ve daha küçük adımlar atması gerektiği fikrini ortadan kaldırarak paradoksları çözmeye çalışılabilir. Yine de, Aşil’in daha küçük ve daha küçük adımlar atması gerekiyorsa, asla kazanamayacağından şüphe kalır.

Bu paradokslar sonsuzluğun rahatsız edici özelliklerine ve sonsuz süreçlerin veya olayların anlamını anlamaya çalıştığımızda bizi bekleyen tuzaklara işaret eder.

 

Aşil ve Kaplumbağa Paradoksuna Yakınsaklık Cevabı

Hızlı bir koşucu olan Aşil’in bir kaplumbağaya karşı yarışması istendi. Aşil saniyede 10 metre koşabilir, kaplumbağa saniyede sadece 5 metre. Parça 100 metre uzunluğunda. Adil bir sporcu olan Aşil, kaplumbağaya 10 metrelik bir avantaj sağlar. Kim kazanacak ?

  • Her ikisi de koşmaya başlar, kaplumbağa 10 metre ileridedir.
  • Bir saniye sonra Aşil, kaplumbağaların başladığı noktaya ulaştı. Kaplumbağa, sırayla, 5 metre yürüdü.
  • Aşil tekrar çalışır ve kaplumbağanın daha önce olduğu noktaya ulaşır. Kaplumbağa, sırayla, 2,5 metre yürüdü.
  • Aşil tekrar kaplumbağanın bulunduğu yere koşuyor. Kaplumbağa, sırasıyla, 1,25 metre ileride koşuyor.

Bu bir süre devam eder, ancak Aşil kaplumbağasının sadece bir saniye önce olduğu noktaya ulaşmayı başardığında, kaplumbağa yine biraz mesafe kat etti ve hala Aşil’in önündedir. Bu nedenle, denediği kadar, Aşil yalnızca, kalan mesafeyi yarıya indirmeyi başarır; bu, elbette, Aşil’in aslında kaplumbağaya asla ulaşamayacağını ima eder. Böylece, kaplumbağa Aşil’i hiç de mutlu etmeyen yarışı kazanır.

Açıkçası, bu doğru değil, ama hata nerede?

Şimdi matematiğe dönelim. Herhangi bir yeni nesneyle ilgilenmeden önce, onları tanımlamamız gerekir:

Bir dizi, sonsuz bir eklemenin sonucudur – henüz nasıl kullanılacağını bilmiyoruz – her bir kısmi toplamın, sadece çok sayıda terimin toplamı olduğunu unutmayın. Dolayısıyla, kısmi toplamlar bir sekans oluşturur ve biz sekanslarla nasıl başa çıkacağımızı zaten biliyoruz.

Aslında, bir dizi pozitif ve negatif terimler içeriyorsa, bir çoğu birlikte eklendiğinde iptal edilebilir. Bu nedenle, farklı yakınsama modları vardır: pozitif terimli serilere uygulanan bir mod ve terimleri negatif ve pozitif olabilen serilere uygulanan diğer bir mod.

Koşullu olarak yakınsak dizilerle çalışmak oldukça zordur. Birinin gerçek olmasını beklediği birkaç işlem bu seri için geçerli değildir. Belki de en çarpıcı örnek, birleşme yasasıdır. Yana a + b = b + a herhangi iki reel sayılar için a ve b pozitif veya negatif, bir bir dizi toplamı sırasını değiştirerek sonuca üzerinde çok az etkisi olması gerektiğini de beklenebilir. Ancak:

Koşullu yakınsak serilerin birkaç sürpriz içerdiği görülüyor. Somut bir örnek olarak, alternatif harmonik serisini yeniden düzenleyebiliriz, böylece 2’ye yaklaşır.

Kesinlikle yakınsak seri, beklediğiniz gibi davranır.

Bu bölümü başlattığımızda bir öykü ile bitirmeden önce seriye bir derece soyut sonuç daha vereceğiz. Daha teorik öneme sahip olan tek sonuç

 

Son hikayemiz sık sık ” Eğik Kule Lire ” olarak adlandırılıyor. Aşil ve Kaplumbağa hakkındaki tanıtım hikayesi, yakınsak (geometrik) bir dizi kullanarak çözebileceğimiz açık bir paradoks oluştursa da, bu hikaye, inanılmaz ancak gerçek bir duruma ışık tutmak için farklı (harmonik) bir serinin özelliklerini kullanır.

 

Çalışkan ama çok çalışan bir öğrenci olan Jillian, kütüphanede uyuyakaldı ve geceleri içeri girdi.Uyandığında oda loş bir şekilde yanıyordu ve yalnızdı. Zamanı geçirmek (ve sabahları kütüphaneciyi sinirlendirmek için) masanın kenarından taşmaları için bir masaya kitap yığmaya karar verdi.

Sınırsız bir kitap kaynağına sahip olduğunu varsayarsak, hepsi eşit genişlik 2 ve ağırlık 1 (örneğin), üretebileceği en büyük çıkıntı nedir? Daha ilginç hale getirmek için diyelim ki her seviyede sadece bir kitap kullanabilir .

Ancak öykü zamanımız sona ermiştir – sonraki bölüm, bir serinin yakınsak veya uzaklaşıp dağılmadığını hızlı ve verimli bir şekilde belirlemek için uygun testler sunar.

 

Eudoxus

Knidos’lu Eudoxus, M.Ö. 408 yılında Knidos’da doğmuştur.( Knidos Muğla’nın Datça ilçesinin en batı ucudur.) Knidos’lu Eudoxus, birçok bilgin gibi, gençliğinde çok fakirlik çekmiş biridir. Eudoxus oranematiğini zirveye ulaştırmıştır.

Eudoxus, genç yaşlarında Tarentum şehrinden Atina’ya gitmiş, Platon’un öğrencisi olmuş ve orada en iyi ve birinci sınıf matematikçi, idareci ve asker olan Arkitas’ın (İ.Ö. 428-347) yanında öğrenim görmüştür. Atina’dayken kalmış olduğu yer çok uzak olmasına rağmen, derslere yürüyerek gidip geldiği söylenmektedir. Eudoxus, Atina’da sevilmediğini anlayınca, burayı terkederek, bugünkü Kapıdağı Yarımadasında bulunan Sızık şehrine gelerek burada tıp öğrenimi yapmıştır. Matematik dışında iyi bir hukukçu ve bir de iyi bir doktordu.

Bir ara Mısır’da bulunmuş ve Mısır genı ve kaşlarını traş etmiştir. Dersler vererek geçimini sağlamış ve Atina’ya dönüşünde, hocası Platon, onun şerefine bir şölen düzenlemiştir. Hemşehrileri olan Knidosluların idâri kanunlarını düzenlemek amacıyla Knidos’a gittiğinde, çok iyi karşılanmış ve çok büyük bir saygı görmüştür.

Ciddi astronomi çalışmalarıyla da ünlüdür. İlme çok büyük katkılarda bulunmuştur. Zamanının birçoğunu söylevler vermek ve felsefe yaparak geçirmiştir. Çağdaşlarına göre, ilmi yönüyle ve ilmi düşünceleriyle, birkaç yüzyıl ileridedir. Galile ve Newton gibi, gözleme ve deneye dayanmayan fikir, düşünce ve görüşleri hoş görmemiş ve inanmamıştır.

Yeni keşfedilmiş olan bir uzunluk veya buna karşılık gelen sayı bir tam sayı değildi ve tam sayıların oranı ile ifade edilemiyordu; bu durum, felsefelerini tam sayılar üzerine kuran Pythagorasçıları son derece rahatsız etmişti; ya aritmetikle geometri arasındaki koşutluğu reddedecekler veya irrasyonel sayıların varlığını kabul edeceklerdi. Doğru olan yapıldı ve sayı kavramı irrasyonel sayıları da içine alacak şekilde genişletildi.

Bu işlem aslen bir Pythagorasçı olan Eudoxos tarafından gerçekleştirildi. Eudoxos, daha sonra Eukleides’in Elementler adlı yapıtının V. ve VI. Kitaplarında işlenecek olan genel oranlar kuramı ile sayı kavramına yeni bir içerik kazandırdı.

Bir doğrunun orta orana göre bölünmesine Altın Oran veya Kutsal Oran denir. Yunanlılar, Eudoxos’un bulmuş olduğu altın oranın bir güzelliği ve kutsallığı olduğuna inanırlardı. İrrasyonellerin anlamlandırılması kadar güç olan diğer bir sorun da eğrilerle sınırlanmış olan alanların veya hacimlerin bulunması sorunuydu. Eudoxos, bu sorunu çözmek için, günümüzde tüketme yöntemi denilen yöntemi geliştirmişti.

Bu yöntemle, bilinen bir büyüklüğün, mesela bir doğrunun uzunluğunun, bir bilinmeyenin, mesela bir eğrinin niteliklerine iyice yaklaşıncaya kadar kendi içinde nasıl bölünebileceğini göstermişti. Archimedes’e göre, Eudoxos, piramitlerin ve konilerin hacimlerinin, sırn ve silindirlerin hacimlerinin üçte birine eşit olduğunu kanıtlamak için bu yöntemden yararlanmıştı.

Eudoxus alan, hacim ve bazı cisimlerin yüzölçümlerini bulmuş ve bunlar hakkında birçok teoremin ispatını vermiştir. Gezegenlerin görünen hareketlerini açıklamış ve bu hareketlerinin dairesel olduklarını söylemiştir. Güneş saatini bulan, bir yılın 365 gün 6 saat olduğunu ortaya koyan ilk bilim adamıdır.

Ayrıca Eudoxos, dairelerin alanlarının, çaplarının karesiyle orantılı olduğunu da göstermişti; uygulamış olduğu yöntem bir bakıma, bir dairenin alanını bulmak için, bu dairenin içine çok sayıda çokgen yerleştirme işlemine benziyordu. Eğrilerle sınırlandırılmış geometrik biçimlerin alanlarının ve hacimlerinin hesaplanmasını olanaklı kılan ve daha sonra Eukleides’in Elementler’inin VII. Kitab’ında derinlemesine geliştirilen bu tüketme yöntemi, integral hesabının temeli olarak kabul edilmektedir.

Eudoxos, kurmuş olduğu ortak merkezli küreler sistemi ile bilimsel astronominin öncülüğünü yapmıştır. Uzun bir süre Mısır’da kalmış olduğu için Mısır astronomisinin inceliklerini, buradayken öğrenmiş olduğu düşünülebilir. Mezopotamya bölgesine ve İran’a gitmemiştir; ancak çeşitli milletlerden insanların toplanmış olduğu Knidos’ta Asya bilimine de âşina olması olanaklıdır.

Bugün matematikte kullandığımız ve adına Archimedes aksiyomu dediğimiz aksiyomu yine Eudoxus’a borçluyuz. Bu da onun ünlü orantılı doğrular kuramıdır. İki doğru parçası veya iki sayı verildiğinde, en küçüğünün her zaman en büyüğünü kapsayan bir tam katı vardır. Bu aksiyom, matematik tarihinde uzun yıllar matematik çağlarının konusu olmuştur.

Mısır’dayken Heliopolis rahiplerinden bilgiler edinmiş ve Heliopolis ile Cercesura arasında bulunan bir gözlemevinde gözlemler yapmıştır. Augustus döneminde bu gözlemevinin etkinliklerini sürdürmekte olduğu bilinmektedir. Eudoxos’un da Knidos’ta bir gözlemevi kurduğu ve burada gözlemler yaptığı söylenmektedir.

Matematik ve Richter Ölçeği

Deprem veya yer sarsıntıları evrenin ilk hazır olduğu zamandan beri kendini göstermiştir. Enerji bilim uzmanlarına göre aslında bu olay sadece dünyanın enerjisini boşaltma eylemidir. Her yıl dünyada binlerce insan hayatını kaybetmektedir. Peki deprem ve matematik arasında bir ilişki var mı? Varsa nasıl bir uzlaşma içindeler?

Türkiye’de deprem sismik ölçüm merkezi olarak Boğaziçi Üniversitesine bağlı Kandilli rasathanesi önemli bir araştırma merkezi olarak jeolojik olayları yakından takip etmektedir. Deprem şiddeti, deprem derinliği, P ve S dalgaları, magnitute gibi verisel raporlar çıkarmaktadır. Şimdi birkaç deprem ölçümleri üzerinden yorum yapalım.

  • Bir depremin gücü arttıkça yıkım gücü artar. (Bilinen bir durum)
  • Bir deprem yeryüzüne ne kadar yakın olursa yıkım gücü artar
  • Dalga biçiminde yayılan sarsıntıların yıkım etkisi daha büyüktür.

Temel bilmemiz gerekenler bunlardır. Peki 2 şiddetindeki deprem 3 şiddetindeki depremden ne kadar güçlüdür?

Bu hesaplama için logaritma fonksiyonunu kullanalım. Çok zor olmayan basit düzeyde bir logaritma hesaplamasıdır. Bu hesaplamaların ilk bulucusu Charles Richter’dir. Bugün tüm deprem şiddetlerini Richter ölçeğine göre hesaplama yapıyoruz. Sorumuza gelelim 3-2=1 olacaktır. Bu şu anlama gelir 3 şiddetindeki bir deprem 2 şiddetindekinden 10 kat daha fazla şiddette olacaktır. Aynı şekilde 6 şiddetinde olan bir deprem 3 şiddetinde olan bir depremden 6-3=3 olacak ve 10.10.10= 1000 kat güçlü bir etkiye sahip olacaktır. Bu sonuçların hesaplanması lise düzeyinde bir logaritma hesabından başka birşey değildir.

Farklı bir soruyla devam etsek, 8.3 şiddetinde olan bir depremden 4 kat daha fazla güce sahip deprem kaç şiddetinde ölçülmüştür?

8.3+log4= 8.3+0.6=8.9 richter ölçeği şiddetinde olacaktır. log4 sayısının değeri ayrıca hesaplanmalıdır. (log4=0.6)

Deprem matematiği üstünde çalışan birçok jeofizikçi depremin ne zaman olacağının bilinemeyeceğini söylüyor. Ayrıca bir depremin bir yeri vurma olasılığının gün geçtikçe artması gerekirken çalışmalar sonucunda azaldığını gözlemlemiştir. Bir bölgede depremin olacağı yine olasılık kuramının yegane bir sonucundan başka bir şey değil. Uzun zamandan beri deprem olmamış bölgelerdeki fay hatlarına bakılır, fay hatlarının kayaları sıkıştırdığının veri analizi çıkarılır ve depremin sıkışmaya bağlı olarak olup olmayacağı tahmin edilir.

California Üniversitesinde deprem araştırmaları yapan iki insan (Lean Knopoff ve Didier Sornette) bir bölgede depremlerin ne denli olacağını araştırmışlar ve şayet bölgede beklenen deprem olmuyorsa depremin olma şansının azalacağını öne sürmüşlerdir. Kullandıkları yöntem eski olasılıkların gelecekte gerçekleşen olasılıkları nasıl etkileyeceğini ifade eden “Bayes Teoremi” ile ilişkilendirmişlerdir. Sornett’e göre bir depremin yakın zamanda olacağı geçmiş sarsıntıların ne yoğunlukta olacağına bağlıdır. Bu ifade de olasılık kuramıyla ilgilenen insanlar için dalgalanma fonksiyonun yoğunluğuna eşittir.

Bazı bölgelerde araştırmacılar 3 yıl gibi geçirerek o bölgede depremsel dalgalanmaların yoğunluk tablosunu çıkararak bölgedeki depremlerin kaç şiddetinde olabileceğini ve hangi zamanlarda yer sarsıntısı olacağını bulmuşlardır. Bu bölgelerden bir tanesi Oregon Bölgesidir. Fakat bu çalışma Arizona bölgesinde hüsranla sonuçlanmıştır. Yoğunluk fonksiyonu “Bayes Kuralı” ile hesaplanırken bu bölgede “Poisson dağılımı” etkili olmuştur. (Bu fonksiyon dağılımlarının ne olduğu hakkında çok detaylı bilgi almak isteyen okur Olasılık ve İstatistik kitaplarından detaylı bir şekilde bilgi edinebilir) Bu bölgede de depremin oluşması için önceden ne kadar depremin olduğunun bir önemi yoktu. Ve eğer bu bölgede deprem oluşmazsa deprem olma olasılığının artması gerekirken (Halkın bildiği teori) azalacağı yönündeydi. Dolayısıyla bir bölgede deprem yoğunluk fonksiyonunun tablosunu çıkarmak için örneklem tablosunun geniş tutulması gerekecektir.

Ayrıca ülkemizde gerçekleşecek ve büyük bir yıkım yaratacak İstanbul depremi 2030 yılına kadar bir süre içerisinde kesin gerçekleşeceği yönünde. Şiddet olarak 7.0 ve 7.5 arası olması öngörülüyor. Marmara bölgesinde bulunan fay hatlarının hareketleri göz önüne alındığında bölgenin hareketli olduğu sismologlar tarafından ifade ediliyor. Yerin gerçekleşme derinliğine bağlı olarak yıkımın büyük olması öngürülüyor.

Yazının bitiminde okurların Gölcük depreminde enkaz altından çıkarılan insanların havanın kıpkırmızı olduğunu ve anlaşılmayan bir ses duyduklarını ifade eden cümleleri sizce ne anlam ifade ediyor?

Her yıl çok sayıda deprem oluyor. Bu depremlerin bir kısmı insanlar tarafından hissedilemeyecek kadar düşük şiddette olurken bazıları sebep oldukları tahribatlar ile felaketlere yol açıyor. Richter büyüklük ölçeği -ya da kısaca Richter ölçeği- depremlerin şiddetini ölçmekte kullanılan, adını en sık duyduğumuz ölçek. Peki, Richter ölçeği tam olarak nedir ve bize depremler hakkında hangi bilgileri verir?

Richter ölçeği 1935 yılında Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü’nde çalışan Charles Francis Richter ve Beno Gutenberg adlı iki araştırmacı tarafından geliştirilmiştir. Logaritmik bir ölçek olan Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti şu formülle hesaplanır:

ML=log(A/A0(δ))

Bu formülde Mdepremin şiddetini, A Wood-Anderson sismografının maksimum sapmasını, A0(δ) ise depremin merkezinin uzaklığına bağlı olarak değişen bir fonksiyonu ifade eder. Şiddet hesaplama formülü 10 tabanlı bir logaritma içerdiği için depremin şiddetinin Richter ölçeğine göre 1 birim artması gerçek şiddetinin on katına çıkması anlamına gelir. Ölçeğin geliştirildiği zamandaki teknolojilerle ancak 3 ve daha büyük şiddetteki depremler ölçülebilmesine rağmen, aslında ölçeğin alt sınırı yoktur. Hatta günümüzde var olan hassas sismograflarla Richter ölçeğine göre değeri negatif olan depremleri bile belirlemek mümkündür (Birden küçük sayıların logaritması negatiftir).

Richter ölçeği ile büyüklüğü 8’den fazla olan depremlerin şiddeti ölçülemez. Çok büyük depremlerin şiddetini ölçmek için başka yöntemler kullanılır. Fakat diğer yöntemlere göre yapılan ölçümlerden de kamuya açık yayın organlarında “Richter ölçeğine göre” şeklinde değinilmesi yaygındır.

Richter ölçeği sadece depremin büyüklüğü hakkında değil depremde salınan enerji hakkında da bilgi verir. Bir depremin yıkıcı gücü, sallanma genliğinin 3/2’nci kuvveti ile orantılıdır. Dolayısıyla bir depremin şiddeti Richter ölçeğine göre bir birim arttığı zaman, depremin yıkıcı gücü 10(3/2)=31,6 katına çıkar.

sonraki yazı

Deprem ve Matematik

Dünyanın aktif deprem kuşaklarından biri olan Alp-Himalaya deprem kuşağı üzerinde olan ülkemizin yüz ölçümünün % 42’si birinci derece deprem kuşağında yer almaktadır. Bu nedenle deprem ile ilgili biraz daha bilgi sahibi olmak iyi olacaktır.

Sismoloji (Deprem Bilimi) terimi deprem anlamına gelen Yunanca “seismos” ve bir şey hakkında konuşmak anlamına gelen “logos” kelimelerinin birleşiminden oluşur.

Modern sismolojinin babası İrlandalı Robert Mallet olarak kabul edilse de temeli MÖ 4. yüzyılda, yeryüzü sarsıntılarına yeraltı boşluklarındaki hava hareketlerinin neden olduğunu düşünen Aristoteles’e kadar gider.

MS 2. yüzyılda Çinli astronom, şair ve matematikçi Zhang Heng insanların hissetmediği sarsıntıları bile tespit edebilen ilk sismografı icat etmiştir.

Ancak araştırmacılar bugün cisim dalgaları (yerküre içinde hareket eden dalgalar) ve yüzey dalgaları olarak sınıflandırılan sismik dalgaları 20. yüzyılın başlarında tam olarak anlayabildi.

Richter ölçeği Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü’nde çalışan Charles Francis Richter ve Beno Gutenberg adlı iki araştırmacı tarafından 1935’te geliştirilen, bir depremin büyüklüğünü ve sarsıntı oranını ölçmek için kullanılan bir ölçektir.

Daha doğrusu bir zamanlar kullanılıyordu dersek daha doğru olacaktır çünkü şu anda kullandığımız ölçeğin adı Moment Magnitüd Ölçeği. Ancak bu yeni ölçekte Richter ölçeğine göre ayarlandığı için aralarında bizim ayrım yapabilmemiz pek de mümkün değil. Bu geçişin nedeni ise 7’den büyük depremlerde Richter ölçeğinin doğru sonuç verememesi.

Logaritmik bir ölçek olan Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti şu formülle hesaplanır:

M L = log (A / A 0 (δ))

Bu formülde Mdepremin şiddetini, A Wood-Anderson sismografının maksimum sapmasını, A0(δ) ise depremin merkezinin uzaklığına bağlı olarak değişen bir fonksiyonu ifade eder.

Peki depremleri ifade ederken kullandığımız rakamlar ne anlam ifade etmelidir bizler için…

Öncelikle şunu açıklığa kavuşturalım. Her ne kadar depremler için 6, 7, 8 gibi birer artan ifadeler kullanılsa da aslında şiddet hesaplama formülü 10 tabanlı bir logaritma içerdiği için bu sayılar logaritmik olarak 10’ar olarak artarlar.

Yani 6 şiddetinde olan bir deprem 3 şiddetinde olan bir depremden 6-3=3 ise 10.10.10= 1000 kat güçlü bir etkiye sahip olacaktır.

Richter ölçeği sadece depremin şiddeti hakkında değil depremde salınan enerji hakkında da bilgi verir. Bir depremin yıkıcı gücü, sallanma genliğinin 3/2’nci kuvveti ile orantılıdır. Dolayısıyla bir depremin şiddeti Richter ölçeğine göre bir birim arttığı zaman, depremin yıkıcı gücü 10(3/2)=31,6 katına çıkar. Bunu yaklaşık 30 olarak kabul edersek kabaca 7 şiddetindeki bir depremde salınan enerji miktarı 5 şiddetinde salınandan 900 kat daha büyüktür diyebiliriz.

Bir çok jeofizikçi bir depremin zamanını ve yerini tam olarak tahmin edemeseler de bunu hayvanlar daha iyi yapabilmekte.

Köpekler, bizim kulaklarımızın duyamadığı çok yüksek frekanslı P dalgalarını duyabiliyor. P dalgaları cisim dalgalarının bir tipidir. Bazen birincil ya da sıkışım dalgası olarak da adlandırılıyor. Diğer dalgalardan daha hızlı yol alıyor ve deprem sırasında ilk tespit edilen dalga tipi olarak biliniyor.

Cisim dalgalarının diğer bir tipi olan S (ikincil) dalgaları daha yavaştır ve parçacıkları dalganın kendisine dik yönde, ya aşağı yukarı ya da yanlara doğru hareket ettirirler.

Günümüzde sismik dalgalar artık anlaşılmış olsa da bilim büyük depremler sırasında ya da öncesinde gökyüzünde görüldüğü bildirilen çok renkli ışıkları henüz açıklayamıyor. Bu ışıklarının görülmesi MÖ 4. yüzyıla kadar dayanıyor. Araştırmacılar bu deprem ışıklarının, büyük sarsıntılardan önce stres arttıkça fay hattında oluşan pozitif yüklerin bir sonucu olabileceğini düşünüyor.

Doğanın güçlerine karşı şu an elimizde tam kesinleşen bir bulgu yok, varsayımlar üzerine konuşuyoruz ancak deprem kuşağında bir coğrafyada yaşadığımıza hatırlayarak bu konu hakkında farkındalık düzeyimizi arttırmamız oldukça önemli bir konudur.

Kaynak:  http://discovermagazine.com/2017/may-2017/20-things-you-didnt-know-about–earthquakes

 

 

sonraki yazı Matematik ve Richter Ölçeği

Matematik ve Coğrafya

Coğrafi rakamlar sadece mevsim şartları, sıcaklık, nem, derece, yağmur ölçümü vb. Sayılarla açıklanır. Coğrafi koşullar da zengin / fakir bir ülkenin ekonomisini tanımlar. Hindistan gibi birçok ülke, iklimi, yağışları, nehirleri ve hava durumu tahminleri nedeniyle tarımsal ekonomiye sahiptir.

Harita Oluşturmada, Gece ve Günlerin Oluşumu, Güneş ve Ay Tutulması, Boylam Enlem, Maksimum ve Minimum Sıcaklık, Barometrik Basınç, Deniz Seviyesinden Yükseklik, Yer Ölçümü, Uluslararası, Yerel ve Standart Zamanın Hesaplanması, Araçlar vb. Ve işte başka birçok hesaplama da var. Pencap, Haryana ve UP Hindistan’da çok verimli ülkelerdir, bu yüzden tahıl dükkanlarına katkıda bulunurlar, orada endüstriler kurulur ama bu eyaletlerde mayın yoktur.

Coğrafyada matematiğin kullanıldığı çeşitli yollardan söz edilir. Düzlem Öklid geometrisi alandaki küçük alanların araştırılmasında kullanılırken, matematiksel coğrafyanın her iki geleneksel öğesi olan harita çıkıntılarının yapımında küresel geometri ve trigonometri gerekir. 

Matematiğin coğrafyaya yeni uygulanmasında ağların mekânsal analizinde topoloji giderek daha fazla kullanılmaktadır. 

Grafik teorisi, drenaj desenleri gibi çeşitli ağ türlerini tanımlamak için endeksler sağlar. 

Jeomorfolojideki dinamik süreçleri incelemek için diferansiyel denklemler gerekir. Bölgesel coğrafya verilerinin tanımlanması ve analizinde trend yüzey analizi, faktör analizi, küme analizi ve çoklu ayırıcı analiz gibi istatistiksel teknikler uygulanabilir. 

Coğrafyadaki sorunları basitleştirmek için matematiksel modeller çeşitli şekillerde kullanılmaktadır. 

Yerçekimi modeli gibi analog modellerin örneklerinden bahsedilmiştir. 

Simülasyon modelleri ve Markov zinciri stokastik modelleri belirli coğrafi süreçlerin çalışılmasında değerlidir. 

Oyun teorisi kısaca belirtilmiştir. Son bölümde ise planlama ve öngörülere kısaca değinilmiştir. 

Eski lineer programlamada kullanışlı bir yöntemdir ve son trendde fitting ve extrapolation uygulanabilir. 

Coğrafya, matematiksel teknikleri benimsemede nicel değer ve hassasiyet konusunda büyük kazanım sağlamıştır. 

Son bölümde ise planlama ve öngörülere kısaca değinilmiştir. Eski lineer programlamada kullanışlı bir yöntemdir ve son trendde fitting ve extrapolation uygulanabilir. 

sonraki yazı Deprem ve Matematik

Matematik ve Müzik

Matematik ve Müzik arasında bir ilişki var mı?

Matematiğin Müzik ile ilgili olduğunu göstermek için bu konuyu oluşturmaya karar verdik, çünkü birçok kişi müzikte Matematik olduğu gerçeğini görmezden geliyor. Belki Math’ı sevmiyorsun ama endişelenme; Her bir kavramı basit bir şekilde anlatmaya çalışacağız, sadece sese olan duyarlılığımızın beynimizdeki mantığa bağlı olduğunu bilmeniz için. Bu gerçekten ilginç, bu yüzden önyargılarını bir kenara bırak. İyi öğrenildiğinde tüm bilgiler güzeldir.

Müzik konusundaki matematik konusuna gitmeden önce, bazı temel kavramları hatırlayalım.

Müzikte Fizik

Tamam, buradaki web sitesinde ilk başlıklarda , sesin bir dalga olduğunu ve sesin frekansının müzik notunutanımlayan şey olduğunu yorumladık . Fakat frekans nedir? Bu bir tekrarlamadır. Örneğin, bir bisiklet tekerleğinin döndüğünü hayal edin. Bu tekerlek 1 saniyede bir dönüş yaparsa, bu tekerlek frekansının “saniyede bir dönüş” veya “bir Hertz” olduğunu söylüyoruz. Hertz, yalnızca bir frekans birimini temsil eden bir addır ve normal olarak “Hz” ile kısaltılır. Örneğimizin bu tekerleği saniyede 10 tur tamamlarsa, frekansı 10 Hertz (10 Hz) olacaktır.

Güzel, ama sesle bağlantı nerede? Ses bir dalgadır ve bu dalga belirli bir frekansta salınır. Bir ses dalgası bir saniyede bir salınımı tamamlarsa, frekansı 1 Hz olacaktır. Bir saniyede 10 salınımı tamamlarsa, frekansı 10 Hz olacaktır. Her frekans için farklı bir sese (farklı bir nota) sahip olacağız. Örneğin bir not, 440 Hz’lik bir frekansa karşılık gelir.

Müzikte matematik

Ve Matematik müzikte nereye girer? Bir frekans 2 ile çarpıldığında notun hala aynı olduğu görülmüştür. Örneğin, 2 = 880 Hz ile çarpılan A (440 Hz) ayrıca bir A’dır, ancak sadece bir oktavdır . Eğer hedef bir oktavı düşürmek olsaydı, sadece 2’ye bölünmesi yeterli olurdu, o zaman bir not ile onun notunun ½ arasında bir ilişki olduğu sonucuna varabiliriz.

Çok iyi, devam etmeden önce, geçmişe, Eski Yunanistan’a dönelim. O zamanlar Pisagor adında bir adam vardı ve Matematiğe (ve müziğe) gerçekten önemli keşifler yaptı. Oktavlar hakkında gösterdiğimiz şey, gerilmiş bir dizeyle “oynamayı” keşfetti. Ekstremitelerine bağlı gerilmiş bir ip hayal edin. Bu dizgiye dokunduğumuzda titrer (aşağıdaki çizime bakın):

Pisagor, bu ipi iki parçaya bölmeye karar verdi ve her ekstremiteye tekrar dokundu. Üretilen ses aynıydı, ama daha akuttu (çünkü yukarıdaki bir oktav aynı nota idi):

Pisagor orada durmadı. İp 3 parçaya bölünmüşse sesin nasıl olacağını deneyimlemeye karar verdi:

Yeni bir sesin çıktığını fark etti; öncekinden farklı. Bu sefer, yukarıdaki bir oktavla aynı nota değil, başka bir isim alması gereken farklı bir nota değildi. Bu ses, farklı olmasının yanı sıra, bir öncekiyle iyi çalıştı, kulağa hoş bir uyum yarattı, çünkü bu bölümler şimdiye kadar Matematik ilişkilerinin 1/2 ve 2/3 olduğunu gösterdi (beynimiz iyi tanımlanmış mantık ilişkilerini sever).

Böylece alt bölümler yapmaya ve sesleri matematiksel olarak ölçekler yaratan ölçekler yaratarak birleştirerek, daha sonra bu ölçekleri çalabilecek müzik aletleri yaratılmasını teşvik etti. Tonlu aralığı, örneğin, bu ses dengesiz ve gergin dikkate almak beynimizi kılan bir ilişki 32/45, karmaşık ve yanlış ilişki, faktör elde edilmiştir. Zamanla, notlar bugün bildiğimiz isimleri alıyordu.

Matematik ve müzik ölçekleri

Birçok halk ve kültür kendi müzik ölçeklerini yarattı . Buna bir örnek, Pisagor fikriyle başlayan (dizeleri kullanan) Çin halkıdır.

Uzatılmış bir dizgede C çaldılar ve daha önce gösterdiğimiz gibi bu dizgiyi 3 parçaya böldüler. Bu bölümün sonucu G notu oldu. Bu notların uyumu olduğunu fark ettim; G ile başlayan prosedürü tekrarladılar, bu ipi tekrar 3 parçaya böldüler, D notu elde ettiler. Bu not, G ve C ile hoş bir uyum gösterdi. Bu prosedür D’den başlayarak A ile sonuçlandı. A’dan başlayarak, E aldılar.

Bu ipi tekrar üç parçaya bölme prosedürünü bir kez daha tekrarladılar ve B ile sonuçlandılar, çünkü bir sorun vardı, çünkü B C ile oynandığında iyi uymuyordu (deneyin ilk notu). Aslında, bu notlar birbirlerine “yakın bir rahatsızlığa” neden olan birbirine çok yakındı.

Bu nedenle Çin, B’yi bir kenara alarak C, G, D, A ve E notlarını alarak bölümlerini tamamladı. Bu notalar, Çin Notaları için temel teşkil etti ve 5 nota ( Pentatonic ) ile ölçeklendi . Bu Pentatonik Ölçek, hoş ve ünsüz olmak için, her zaman uyum ve istikrarla bağlantılı olan Oryantal Kültürü çok iyi temsil etti.

Pentatonic Scale, yaratılışından bu yana, “ Pentatonic Scale ” başlığında söylediğimiz gibi, melodiler için iyi bir seçenek . Ama şimdi notların ve frekansların konusuna dönelim, çünkü ölçeğin 5 notunu gösterdik.

12 notun matematiği

12 nota ile çalışan batı müziği B notalarını Oryantal Kültür’ün yaptığı gibi atmadı. Batılı insanlar, C ve B notalarının birbirine yakın olduğunu gözlemledi ve daha kapsamlı bir ölçek oluşturmaya karar verdi. Bu ölçekte, tüm notlar birbiri ile aynı mesafeye sahip olmalıdır. Ve bu mesafe C ve B (bir yarı ton ) arasındaki aralık olmalıdır . Başka bir deyişle, C ve D arasında, örneğin, bir ara not bulunmalıdır, çünkü C ve D (bir ton) arasındaki mesafe C ve B mesafesinden (bir yarı ton) daha büyüktür. Bir frekans analizi yoluyla, B notundaki frekansın 1.0595 sayısı ile çarpılmasının C frekansına geleceğimiz keşfedildi.

B frekansı: 246.9 Hz

C frekansı: 261.6 Hz

B frekansını 1.0595 ile çarparak şöyle olur:

246.9 x 1.0595 = 261.6 Hz (not C).

Amaç, diğer notalarla aynı ilişkiyi (mesafeyi) korumak olduğundan, bu notu C’den sonra hangi notun geleceğini bulmak için kullanacağız. C sıklığının 1.0595 ile çarpılması:

261.6 x 1.0595 = 277.2 Hz (keskin Not C)

C keskininden sonra ne olduğunu görmek için bu prosedürü tekrarlayın:

277.2 x 1.0595 = 293.6 Hz (not D)

Bu mantığı izleyerek tüm kromatik ölçeği oluşturabileceğimize dikkat edin ! Başka bir deyişle, C sıklığını on iki kez “1.0595” sayısıyla çarptıktan sonra, C’ye geri döneceğiz. Bu, “1.0595”, 12 √2 karekökünün sonucuna karşılık geldiği için mümkündür . 12 √2 ‘nin 12 kez kendi kendine çarptığına dikkat edin ( 12 √2) 12  = 2. Ve zaten 2 ile çarpılmış bir notun yukarıda bir oktav olduğunu gördük.

Şimdi bu sayıların tesadüfen gelmediğini açıkça görebiliyoruz. Başlangıçtan bu yana amaç, ölçeği ilk notun geri döneceği şekilde 12 aynı bölüme ölçek ayırmaktı.

O böyle oldu Eşit Ilıman Ölçeği da Kromatik olarak adlandırılan çıktı.

Müzikte Logaritma

Çok fazla ayrıntıya girmeyeceğiz, ama biraz Math’ı bilenler burada 2 numaralı logaritma ile çalıştığımızı fark ettiler. Bu nedenle, piyano yapımcıları piyano gövdesinde bir logaritma grafiği oluşturduğunu Müzikal Matematik Keşfi’ne referans vermek için. Kontrol et:

Logaritma grafiği örneği:

Vücut planı:

Müzikle ilgili birçok soruya daha birçok Matematiksel açıklama var, ama onları burada göstermek için Matematikte ileri konu hakkında konuşmak gerekir, Fourier dizileri, Riemann Zeta Fonksiyonu, vb. daha derine inme

Buradaki amacımız müziğin matematiksel olarak nasıl çalıştığını ve beynimizdeki mantıksal ilişkilerin nasıl anlaşıldığını, huzur ve gerginliği yarattığını göstermekti. Açıkçası, yaklaşımı kullanarak her şeyi yaptık (yuvarlak sayılar), çünkü daha doğru bir analiz okuyucuların çoğuna sıkıcı gelecektir.

Bu konuda öğrettiğimiz her şeyi ezberlemek gerekli değildir; sadece müziğin hiçbir yerden gelmediğini düşün. Müzik, sayısal bir organizasyonun sonucudur. Bütün bunların yorumlanması, harika ve gizemli beynimiz tarafından yapılır.

Sonuç olarak, eğer bir müzisyenseniz, yani (bir şekilde veya başka bir) matematikçisiniz, çünkü müzik dinlerken hissedeceğiniz zevk duyguları bilinçaltı hesaplamaları gizler. Beyniniz hesaplamaları sever, bu bir hesaplama makinesidir! Ne kadar çok pratik yapar, müzik okur ve bilir, bu fakülte o kadar çok gelişir. Muhtemelen daha önce size büyük hisler getirmeyen şarkıları dinlerken zevk almaya başlayacaksınız.

Bunu ilk yarıyılda Fizik öğrencisiyle karşılaştırabiliriz. Modern bir Fizik kitabı okursa, ona Yunanca gibi görünür. Ona hiç zevk vermeyecek. Fakat birkaç yıl sonra iyi bir Matematik temeline sahip olacağı ve bu kitapla yeniden yüzleşeceği zaman, belki konuyu sevebilir ve hayatının geri kalanını bunun içinde geçirmek isteyebilir.

sonraki yazı

Müzik ve Matematik Arasındaki Bağlantı

Ünlü Yunan filozofu ve matematikçi Pisagor, bir keresinde “tellerin uğultusunda geometri var, kürelerin arasında bir müzik var” dedi. Pythagoras aslında bu ifadeyi doğrudan bir şiir olarak yorumluyor olsa da müzik ve matematik arasındaki ilişki. Görüyorsunuz, müzik tamamen matematikle iç içedir, öyle ki temel bir akor bile matematiksel olarak tanımlanabilir. Müzik ve matematik arasındaki bağlantıyı daha da vurgulamak için, matematiği dalga frekansları, ölçekler, aralıklar ve sesler gibi ortak müzikal kavramlarda inceleyelim.

Müzik ve Matematik Çalışmaları Tarihi

Müziğin performans ve zevk için uzun süredir çaldığı yaygın bir bilgi olmasına rağmen, müzik çalışması, özellikle de matematikle ilişkisi, performans için müzik kadar eşit bir şekilde devam etmektedir. Yunanlılardan Mısırlılara, Kızılderililere, Çinlilere, hemen hemen her eski uygar kültür, müzik ve matematik arasındaki bağlantıyı inceledi . Ünlü filozof Plato’nun müziğe, özellikle de uyumlara aşırı bir ilgi duyduğu ve hem bireyin hem de toplumdaki önemini vurgulamasına yardımcı olduğu biliniyordu. Müzik ve matematik arasındaki ilişkiyi incelemenin önemini tespit eden tek filozof Plato değildi – antik Çin filozofu Konfüçyüs’ün müzik içerisinde bir takım temel gerçekler olduğunu söylediği söylenir.

Dalga frekansları

Müzik dinlediğimizde, bir şarkı ya da nota koleksiyonu duyduğumuzu varsayıyoruz, ancak beynimizin aslında işlediği ses dalgaları. Örneğin, bir nota çalındığında, ses dalgaları bir enstrümandan veya amplifikatörden hareket eder ve kulak davullarımızda yankılanır ve beynimize hangi adımın veya notanın çalındığını söyleyen bu ses dalgasının frekansıdır (örneğin orta C’nin üstündeki E yaklaşık 329.63 Hz’de yankılanır). Ses dalgalarını anlamak, özellikle de oktav notaları arasındaki fark biraz matematik ve fizik gerektirir. Belirli bir notun sıklığını bulmak için, sabit bir not alın (geleneksel olarak 440Hz frekansı olan A’nın orta C’sidir) ve 2 adımın on iki kökü ile çarparak yarım adım öteye kadar İstediğiniz not orta A’dan (not orta A’nın altındaysa), gücü negatif yapın). Bu seni şaşırtıyorsa, endişelenme! Aşağıda orta C frekansının nasıl bulunacağına bir örnek verilmiştir:

  • Orta C frekansı
    • = 440Hz * 2 (1/12) negatif 9. güce (orta C, A’nın 9 altında 9 adımdır)
      • = 440Hz * 0.59460
        • = ~ 261.625

Aralıklar ve Zil Sesleri

Bazı notaların veya aralıkların birlikte çalındığında neden hoş göründüğünü merak ediyorsanız, bunun için de matematiksel bir açıklama var! Yukarıda gösterildiği gibi, her notun benzersiz bir frekansı vardır, ancak bir araya getirildiğinde, bu frekansların tümü güzel bir harmonik akor yapmaz. Aslında, bazı not kombinasyonları oldukça delici ve sert gelebilir. Peki ne verir? Güzel bir sondaj akoru yapan aralıklar, benzer düzenlerde yankılanan ses dalgalarına sahip olma eğilimindedir. A (440 Hz) ve E (659.25 Hz) olan orta A ana aralığına bakalım. Her ses dalgasını inceliyorsanız, altta A, üstte E ise, E’nin frekansının A’nınkinden yaklaşık 3/2 daha büyük olduğu ve kolay ve sindirilebilir bir fraksiyon yaptığı anlaşılacaktır. Bu basit matematiksel ilişki, büyük ölçüde iki notun birlikte çok hoş görünmesine neden olurken, daha soyut bir kesir daha hoş olmayan, daha az hoş bir sesle sonuçlanacaktır.

Sınıfta Müzik ve Matematik

Müzik ve matematik arasındaki bağlantılar geniş ve karmaşık görünebilir, bu yüzden yardım etmek için, sınıfta müzik ve matematik arasındaki ilişkiyi incelemenin birkaç farklı yolu:

  • Desen etkinlikleri
    • Öğrencilerin bir deseni analiz etmelerini ve ardından kalıbın kurallarını bildirmelerini sağlayın.
    • Sonra, sıradakileri tahmin etmek için kuralı kullanmalarını sağlayın.
  • Notları ve dinlendirmeleri ekleme ve çıkarma
  • Kesirleri daha iyi anlamak için kompozisyonları inceleyin
  • Şekilleri, kesirleri, oranları, sıralama ve kombinasyonları anlamak için zaman imzalarını analiz edin

sonraki yazı Müziğin büyülü matematiği