Müziğin büyülü matematiği

Gökbilimci Galileo Galilei, 1623’te tüm evrenin “matematik dilinde yazıldığını” gözlemledi ve gerçekten de, bilim ve toplumun matematiksel düşüncelerle yönetilme derecesi dikkate değer. Belki de daha da şaşırtıcı olan, müziğin, bütün tutkusu ve duygusuyla birlikte, matematiksel ilişkilere dayanmasıdır. Oktav, akor, pul ve anahtar gibi müzikal kavramların hepsi basit matematik kullanılarak basitçe anlaşılabilir ve anlaşılabilir.

Adım: dalga frekansları

Müzik sihirle yayılıyor, pahalı müzik setinizden kaçıyor – ya da yüksek sesle geçen bir araba radyosundan ya da gitar çalınan bir maestrodan – ve kulak zarlarınızı tek bir baskınla dolduruyor. Aslında, ses havada bir dalga olarak ilerler ve ses bir atmosfer olmadan üretilemez. (Ya da korku filmlerinin söylediği gibi: uzayda kimse çığlık attığını duyamaz.)

Bir ses dalgası daha yüksek ve daha düşük hava basıncının küçük ceplerine neden olur ve duyduğumuz tüm seslere bu basınç değişikliklerinden kaynaklanır. Müzik ile bu ceplerin kulağınıza çarpma sıklığı duyduğunuz ses tonunu kontrol eder.

Örneğin, “Orta C” (genellikle piyano derslerinde öğrenilen ilk nota) adlı notu düşünün. Bu not yaklaşık 262 Hertz frekansına sahiptir. Bu, Orta C çalındığında, her saniye kulağınıza 262 cep daha yüksek hava basıncı çarpması anlamına gelir. Aynı şekilde, hava cepleri o kadar hızlı gelir ki, bir cep her 0.00382 saniyede bir kulağınıza vurur. Bir cep havası geldiğinde her seferinde bir X koyarak bir grafik çizebiliriz:

Bu grafik, Orta C’nin bir tür “resmini” sağlar. Kendi başına bize fazla bir şey söylemez. Ancak, bu tür grafikler farklı müzik notaları arasındaki ilişkilere yeni bir bakış açısı sağlar.

Temel bir kural, daha yüksek eğimli notaların daha sık hava cebi girişlerine karşılık gelen daha yüksek bir frekansa sahip olmasıdır. Örneğin, Orta G notu (Orta C’den daha yüksek yedi ton), saniyede 392 hava cebine karşılık gelen yaklaşık 392 Hertz frekansına veya gelenler arasında saniyede 0.00255 saniyelik bir zaman dilimine sahiptir:

Daha yüksek nota sahip (Orta G) hava cepleri daha sık gelir – daha yüksek bir frekansa ve dolayısıyla grafikteki daha fazla X’e karşılık gelir.

Bir ambulans sireni veya bir tren düdüğü dikkatlice dinlerseniz, araç yaklaşırken gürültünün daha yüksek ve araç geçtikten sonra daha alçakta olduğunu fark edeceksiniz. Bunun sebebi, yaklaşan hareketin X’leri bir araya sıkıştırması, daha sık gelmesi ve daha yüksek bir adım üretmesidir, çıkış hareketi X’in gerilmesi ve daha düşük bir adım üretmesidir. Bu, eylemdeki müzikal frekanstır.

Peki bu bize nasıl yardımcı oluyor? Eh, ses frekansları bilgisini dikkatli kullanarak, oktav ve akor gibi müzikal gizemleri çözülebilir.

Eğlenceyi ikiye katlayın: Octaves

Hiçbir nota, birbirinden tamamen tek oktav olanlardan daha iyi uymuyor. Orta C ve Yüksek C veya Orta G ve Yüksek G gibi nota çiftleri. Bu tür çiftler, popüler bir müzikte, gökkuşağının üzerindeki klasik Somewhere’in ilk iki notadaki gibi , ya da ilk “Ben şarkı … ” Yağmurda şarkı söylemek – ya da üçüncü doğum günün kutlu olsun ilk iki notu .

Genellikle bir senfonide, bir enstrüman (keman gibi), başka bir enstrümanınkinden bir oktav (kontrbas gibi) çalar. Piyano düzenlemeleri kaçınılmaz olarak farklı oktavlarda aynı notayı içerir. Mavi ya da caz müziğinin doğaçlama yaparken, pek hangi konularda oktav , oynamak için tercih sadece notlar hangi içinde size oynamayı tercih oktav. Bir oktav olan Notlar, neredeyse aynı nota veya en azından aynı nota yeni bir varyasyona benzer.

Notları bir oktavın birbiriyle çok iyi uymasını sağlayan şey nedir? Orta C’nin tam üzerinde bir oktav olan Not Yüksek C’yi düşünün.

Yüksek C için hava cepleri her 0.00191 saniyede bir gelir. Bu tam olarak Orta C’nin zaman periyodunun yarısıdır (ya da sıklığının iki katı). Yüksek C’nin gelişi rastgele ya da keyfi değil ya da şapkadan seçilmemiştir. Daha ziyade, bunlar kesinlikle Orta C’ye gelenlerin iki katı.

Bu, oktavların evrensel bir gerçeğidir. Bir oktav yukarı çıkmak her zaman frekansı iki katına çıkarmakla aynıdır. Yüksek C sıklığının Orta C’nin iki katı olduğu gibi, Yüksek D’nin sıklığı da Orta D’nin iki katıdır. Bir oktavın birbirinden ayrı olduğuna dair notlar her zaman bu temel ilişki tarafından birleştirilir.

Hem Orta C hem de Yüksek C’yi aynı anda oynarsak, hava cepleri belirli bir düzende birbirine uyar:

Yüksek C sıklığı, Orta C’nin tam olarak iki katı olduğundan, iki nota mükemmel bir şekilde sıralanır. High C’ye giden her iki hava cebi , Middle C’ye bir varışa mükemmel şekilde karşılık gelir . İki notadaki X’ler tam olarak eşleşir. İki notun birbirine çok iyi uymasının ve gerçekte neredeyse aynı olmasının nedeni budur. Yüksek basınçlı hava cepleri mükemmel senkronizasyona ulaşıyor.

Benzer şekilde, Yüksek D’nin Orta D’ye çok iyi uymasının ve gerçekte herhangi bir notun yukarıda veya altında bir oktav nota ile çok iyi uymasının nedeni de budur. Her durumda, bir notun sıklığı diğerinin frekansının tam olarak iki katıdır ve mükemmel bir uyum sağlar.

Bunu görmenin kolay bir yolu bir gitarda. Orada, on ikinci perdede gitar teli basmak teli tam olarak yarıya indirir. Bu, tam olarak iki kat daha hızlı titreştirir. Bu iki kat daha yüksek bir frekansa neden olur ve bu nedenle bir oktav daha yüksek bir nota karşılık gelir. Örneğin, bir gitarın ilk teli normalde Orta E’ye ayarlanmıştır. On ikinci perdeyle aynı teli çalmak, frekansı iki kat daha yüksek olan bir oktav notu olan Yüksek E üretir.

Aynı desen oktavları arttırdıkça devam ediyor. Orta C’nin üstündeki iki oktav (bazen Yüksek Yüksek C olarak adlandırılır), Orta C’nin dört katı frekansa sahiptir. Ve bunun üstünde bir oktav olan Sekizinci Orta C’ninkinin frekansına sahiptir. oktav ve sonsuza dek frekansları iki katına çıkarmak – ancak belirli bir noktadan sonra, notlar yalnızca köpeklerin duyabileceği kadar yüksek olurdu.

Mükemmel uyum içinde

Bir oktavın birbirinden çok iyi uyduğuna dikkat edin. Bir anlamda, birbirlerine çok iyi uyuyorlar. Birlikte Orta C ve Yüksek C oynarsanız, o zaman hiçbir uyumsuzluk yoktur. Ancak, sonuç bir tür oyuk hatta sıkıcı geliyor. Başka notlar da getirirsek akorlar gibi daha ilginç kombinasyonlar ortaya çıkar. Ama hangi notalar kulağa hoş geliyor, hangileri kulağa hoş gelmiyor?

Orta C ve Orta G notalarını göz önünde bulundurun. Aslında, bu notalar “beşinci” bir aralık oluşturur ve birbirine iyi uyar. Ama bu neden? Peki, dalga grafiklerini birlikte inceleyelim:

Middle C’nin her ikinci gelişinin, Middle G’nin üçüncü gelişiyle neredeyse mükemmel bir şekilde hizaya geldiğini görüyoruz, bir kez daha, iki dalga paterni birbirine iyi uyuyor. İki nota çarpışma yerine birbirini tamamlıyor. Bu yüzden pek çok müzik C ve G notalarını içerir – gümüş huş ağacı Land’in korosunun ilk iki notasından, Star Wars müzikal temasının ilk iki notasına kadar .

Middle G için 3 zaman periyodu Middle C için 2 zaman periyoduna karşılık geldiğinden, Middle G’nin frekansının Middle C’nin 3/2 katı kadar olduğunu söyleyebiliriz. 3/2 güzel, basit bir kesirdir. , bu yüzden C ve G birlikte iyi geliyor.

Buna karşılık, C ve F-Sharp notaları birbirine iyi uymuyor. Eğer bu iki not birleştirilirse, kulağa doğru gelmiyor. Nadiren, en azından sürekli bir şekilde olmayan, müzik besteleri veya herhangi bir tür şarkıda çift olarak görünürler. Grafiklerine bir bakış nedenini açıklar:

Bu sefer, X’ler sıraya girmedi. Birbirleriyle basit ilişkileri yoktur. Uyum sadece orada değil. (Pekala, C için beş zaman periyodunun yedi F-Sharp periyodundan çok uzakta olmadığı doğrudur . bekleyin.) Yani, C’yi F-Sharp ile birleştirmek çok iyi değil, fakat C’yi G ile birleştirmek iyi çalışıyor. Bu temel gerçekler, en sevdiğiniz müzik tarzından bağımsız olarak uygulanır.

Bir akor vuruşu

C ve G notalarını birleştirmek, iyi fakat çok heyecan verici olmayan bir ses çıkarır. Gerçekten hoş bir ses elde etmek için üçüncü bir not ekleyelim: E. Orta E, Orta C’nin üzerinde dört yarı ton (“üçüncü bir” “) ve Orta G’nin altında üç yarı ton (” küçük bir üçüncü “) iken Her üç nota birlikte çalınır, berber dörtlüsü gibi tatlı bir şekilde uyumlu, mutlu bir ses olan “C ana akor” u oluşturur. Row, kürek, kürek, kürek ve Mozart ve Beethoven ve Major Major Major’daki senfoniler ve Schubert gibi çeşitli müzikler için temel oluşturur .

Bu üç nota neden – C, E ve G – birlikte çok tatlı geliyor? Bir bakalım.

X’in çizgisinin kesin olarak mükemmel bir şekilde sıralandığını görüyoruz. Aslında, Orta C için 4 zaman periyodu ve Orta E için 5 zaman periyodu ve Orta G için 6 zaman periyodu pratik olarak eşittir. Yani, her 0,015 saniyede bir, X’lerin hepsi aynı hizada.

Bu nedenle, X’lerin belirli bir kısmı bu üç not için sıraya girmese de, epey bir kısmı öyle. Çeşitlilik ve tutarlılığın bu birleşimi, insanlık için bilinen en hoş seslerden biri ve Mendelssohn’dan Metallica’ya kadar olan melodilerin temeli olan C Major akorunu üretmek için gereken şeydir.

Bu yüzden, insanlığın güzel müzik arayışı, farklı notaların hava ceplerinin X’lerini dizmek için yaratıcı ve ilginç yollar bulmak anlamına geliyor.

Öfke, öfke

Öyleyse neden C ve G notaları birbirine iyi uyuyor, ancak C ve F-Sharp notaları uymuyor mu? Hangi notaların X’lerinin sıralanmasına ve hangi notaların sıralanmayacağına kim karar verir? Cevap, matematik karar verir!

Yüksek C’nin, Orta C’den iki kat daha büyük bir frekansa sahip olduğunu unutmayın. ve benzeri – Orta C ve Yüksek C arasında sıkışmış. Frekansları nelerdir? Nasıl uyuyorlar?

Erken müzisyenler – BCE altıncı yüzyılın Yunan matematikçi ve müzisyen Pisagoru kadar – her anahtar için özel olarak müzik aletleri ayarladılar. Örneğin, C tuşunda oynarken, Middle G notu, frekansı Middle C’nin tam olarak 3/2 katı olacak şekilde ayarlanmış olacak ve bu , X’in çizgisine tam olarak uymasını sağlayacak, böylece notlar tam olarak birbirine uyacak. . Ancak, bu sistem hangi notaları çalmayı planladığınıza veya hangi anahtarda müzik yazdığınıza bağlı olarak farklı ayarlamalar gerektiriyordu.

Son birkaç yüz yılda, bunun yerine daha evrensel bir sistem kullanılmıştır. Eşit tavlama denilen, iyi tavlamanın bir sürümü olarak adlandırılan bu sistem, oktavın on iki notalarını eşit olarak yerleştirir. Bu şekilde, seçilen tuşa veya çalınan müziğe bakılmaksızın tek bir ayar kullanılabilir.

Eşit tavlama, her oktavı on iki eşit yarı-tona ayırmak için bir sistemdir. Her bir oktav, frekansı 2 katıyla çarpmayı temsil ettiğinden , her yarı ton, frekansı 2’nin on ikinci köküyle çarpmayı temsil eder – on iki kopya hep birlikte çarpıldığında iki üreten sayı. Bu sayı yaklaşık 1.059463’tür, çünkü hepsi birlikte çarpılan 1.059463’ün on iki kopyası 2’ye eşittir.

Peki bu ne anlama geliyor? Orta C ile taban olarak başlarsak, Orta C’nin yarı tonu üzerinde olan Orta C-Sharp, Orta C’nin 1.059463 katı olan Orta C’den daha büyük olan bir frekansa sahiptir. 1.059463 ile çarpılan 1.059463 veya 1.122462 ile çarpılan bir frekans.

Bu şekilde devam edersek, sonunda Orta G’ye, Orta C’nin üzerinde yedi yarı tona ulaşıyoruz. Orta G’nin frekansı, Orta C’nin 1.498307 katıdır.

Fakat bekle. 1.498307, neredeyse tamamen 1.5 veya 3/2 ile aynıdır. Bu, neden Orta G için her üç zaman diliminde, Orta C için iki zaman dönemine karşılık geldiğini açıklar. İki frekansın, basit bir oranı vardır, 3/2, ve bu yüzden birbirine çok iyi uyuyorlar.

Benzer şekilde, Orta E’nin frekansı Orta C’nin 1.259921 katıdır. Bu oran 1.25 veya 5 / 4’e çok yakındır ve Orta E için her beş zaman periyodunun neden Orta C için dört zaman periyoduna karşılık geldiğini açıklar. G, not E de C ile iyi uyuyor.

Bir başka iyi örnek, frekansı Orta C’nin 1.334840 katı olan Orta F notudur. Bu, 1.333333 veya 4/3’e çok yakındır. Ve gerçekten de, C ve F aynı zamanda iyi uyum sağlarlar (aralıklarına “dördüncü” denir).

Öte yandan, Middle F-Sharp’ın, Orta C’nin 1.414214 katı olan bir frekansı vardır. 1.414214 sayısı, herhangi bir basit basit kesime çok yakın değildir (1,4 veya 7/5’den çok uzak değildir, ama 7 gibi rakamlar fazla yardımcı olamayacak kadar büyüktür). Bu nedenle F-Sharp ve C notaları birbirine iyi uymuyor.

Bu nedenle, hangi notaların birbirine iyi uyduğunu bulmak için, deneme, yanılma ya da müzik teorisini yıllarca incelemeye gerek yok. Eşit tavlama ilkesini hatırlamamız ve basit bir frekans oranı alıp almadığımızı görmek için birlikte 1.059463 kopyalarını çoğaltmamız gerekir.

Anahtarın kilidini açma

Deneyimli müzisyenler her zaman hangi anahtarın çalınacağını tartışırlar. Bir caz müzisyeni için, ritim aldığımda, ritim aldığımda , “Tabii dostum. Hangi anahtar?”

Bir şarkının anahtarını değiştirmek tüm notları aynı miktarda artırır veya azaltır. Bu değişiklik, şarkıyı belirli bir müzik aletinde çalmayı daha uygun hale getirebilir veya bir vokalistin eşlik etmesi için daha rahat hale getirebilir. Düzgün yapılırsa, anahtar değişikliğinin, şarkının “sesler” üzerinde hiçbir etkisi olmamalıdır – yeni anahtarda eskisi kadar tanınabilir, tıpkı güzel ve aynı derecede çekici olmalıdır. Aslında, tam olarak aynı şarkı olmalı, sadece daha yüksek veya daha düşük bir adımda yapılmalıdır.

Bu nasıl olabilir? Bir şarkı nasıl aynı olabilir ama farklı olabilir? Sesi değiştirmeden perdesi nasıl değiştirebiliriz?

Frekans anlayışımızdan cevap açıktır. Notları yükseltmek (diyelim) için, frekanslarını daha hızlı yaparız, yani X’leri birbirine yaklaştırır. Fakat şarkıyı aynı yapmak için, X’ler arasındaki ilişkileri tıpkı eskisi gibi bırakıyoruz . Her X satırını aynı faktörle sıkıştırıyoruz. Aynı şekilde, her notu tam olarak aynı sayıda yarı ton yükseltiriz.

Örneğin, C anahtarında bir şarkı çaldığınızı ve önceki gibi C, E ve G notaları olan bir C Major akor kullandığınızı varsayalım. Daha sonra E’nin anahtarına geçmek ve bunun yerine E Major akorunu kullanmak istersiniz. Bunu nasıl yapıyorsun?

Peki, Orta C’yi Orta E olarak değiştirmek için notu dört yarı ton kadar yükseltmeniz veya frekansı 1.259921 ile aynı değerde çarpmanız gerekir. Bu yüzden, akorun sesini korumak için , diğer iki nota ile aynı şeyi yapmanız gerekir . Ayrıca Orta E, Orta G-Sharp’a dönüşmek için frekansı 1.259921 ile çarpan dört yarı ton kadar yükselir. Ve, Middle G dört yarı tondan High B’ye yükseldi. Sonuçta ortaya çıkan hava cep gelişleri şöyle gözüküyor:

Böylece, dört yarı ton (veya 1.259921 faktörü) dışında, C Major’a benzeyen bir Akordu E Major oluşturduk. E Major akoru, daha önce gördüğümüz C Major akoru kadar tatlı, aynı derecede hoş geliyor. Tek fark, E Major akorunun biraz daha yüksek olması. Anahtarları C’den E’ye başarıyla değiştirdik.

Bu E Major akoru (E, G-Sharp ve B’den oluşan) ve önceki C Major akoru (C, E ve G’den oluşan) arasında birçok benzerlik vardır. Her birinde, üst sıradaki her dört boşluk ve orta sıradaki her beş boşluk ve alt sıradaki altı boşluk, hepsi iyi sıraya dizildi. Böylece, her küçük zamanda, üç satır için de X’ler neredeyse birbirlerinin üzerindedir. Bu yüzden iki akor aynı hoş sese sahip.

Öte yandan, E Major için bu birleşme daha hızlı gerçekleşir. C Major için, X’in her 0.015 saniyede bir kez sıralaması, E Major için ise her 0.012 saniyede bir kez sıraya girmesi. Bu yüzden, E Major – her bakımdan C Major’a benzer şekilde ses çıkarırken – vokalistin iyi takdir edebileceği gerçeği de biraz daha yüksek.

Bu yüzden bir dahaki sefere yeni caz müziğine olan muzaffer performansında güzel bir yıldıza eşlik ediyorsun ve sana dönüp göz kırparak, “Bu sefer C yerine E tuşuyla yapalım” diyor panik. Tüm frekanslarınızı 1.259921 faktörü ile yükseltin ve izleyicinin vahşi alkışını bekleyin.

sonraki yazı Matematik ve Müzik

Yorum yapabilmek için giriş yapmalısınız