Matematik ve Richter Ölçeği

Deprem veya yer sarsıntıları evrenin ilk hazır olduğu zamandan beri kendini göstermiştir. Enerji bilim uzmanlarına göre aslında bu olay sadece dünyanın enerjisini boşaltma eylemidir. Her yıl dünyada binlerce insan hayatını kaybetmektedir. Peki deprem ve matematik arasında bir ilişki var mı? Varsa nasıl bir uzlaşma içindeler?

Türkiye’de deprem sismik ölçüm merkezi olarak Boğaziçi Üniversitesine bağlı Kandilli rasathanesi önemli bir araştırma merkezi olarak jeolojik olayları yakından takip etmektedir. Deprem şiddeti, deprem derinliği, P ve S dalgaları, magnitute gibi verisel raporlar çıkarmaktadır. Şimdi birkaç deprem ölçümleri üzerinden yorum yapalım.

  • Bir depremin gücü arttıkça yıkım gücü artar. (Bilinen bir durum)
  • Bir deprem yeryüzüne ne kadar yakın olursa yıkım gücü artar
  • Dalga biçiminde yayılan sarsıntıların yıkım etkisi daha büyüktür.

Temel bilmemiz gerekenler bunlardır. Peki 2 şiddetindeki deprem 3 şiddetindeki depremden ne kadar güçlüdür?

Bu hesaplama için logaritma fonksiyonunu kullanalım. Çok zor olmayan basit düzeyde bir logaritma hesaplamasıdır. Bu hesaplamaların ilk bulucusu Charles Richter’dir. Bugün tüm deprem şiddetlerini Richter ölçeğine göre hesaplama yapıyoruz. Sorumuza gelelim 3-2=1 olacaktır. Bu şu anlama gelir 3 şiddetindeki bir deprem 2 şiddetindekinden 10 kat daha fazla şiddette olacaktır. Aynı şekilde 6 şiddetinde olan bir deprem 3 şiddetinde olan bir depremden 6-3=3 olacak ve 10.10.10= 1000 kat güçlü bir etkiye sahip olacaktır. Bu sonuçların hesaplanması lise düzeyinde bir logaritma hesabından başka birşey değildir.

Farklı bir soruyla devam etsek, 8.3 şiddetinde olan bir depremden 4 kat daha fazla güce sahip deprem kaç şiddetinde ölçülmüştür?

8.3+log4= 8.3+0.6=8.9 richter ölçeği şiddetinde olacaktır. log4 sayısının değeri ayrıca hesaplanmalıdır. (log4=0.6)

Deprem matematiği üstünde çalışan birçok jeofizikçi depremin ne zaman olacağının bilinemeyeceğini söylüyor. Ayrıca bir depremin bir yeri vurma olasılığının gün geçtikçe artması gerekirken çalışmalar sonucunda azaldığını gözlemlemiştir. Bir bölgede depremin olacağı yine olasılık kuramının yegane bir sonucundan başka bir şey değil. Uzun zamandan beri deprem olmamış bölgelerdeki fay hatlarına bakılır, fay hatlarının kayaları sıkıştırdığının veri analizi çıkarılır ve depremin sıkışmaya bağlı olarak olup olmayacağı tahmin edilir.

California Üniversitesinde deprem araştırmaları yapan iki insan (Lean Knopoff ve Didier Sornette) bir bölgede depremlerin ne denli olacağını araştırmışlar ve şayet bölgede beklenen deprem olmuyorsa depremin olma şansının azalacağını öne sürmüşlerdir. Kullandıkları yöntem eski olasılıkların gelecekte gerçekleşen olasılıkları nasıl etkileyeceğini ifade eden “Bayes Teoremi” ile ilişkilendirmişlerdir. Sornett’e göre bir depremin yakın zamanda olacağı geçmiş sarsıntıların ne yoğunlukta olacağına bağlıdır. Bu ifade de olasılık kuramıyla ilgilenen insanlar için dalgalanma fonksiyonun yoğunluğuna eşittir.

Bazı bölgelerde araştırmacılar 3 yıl gibi geçirerek o bölgede depremsel dalgalanmaların yoğunluk tablosunu çıkararak bölgedeki depremlerin kaç şiddetinde olabileceğini ve hangi zamanlarda yer sarsıntısı olacağını bulmuşlardır. Bu bölgelerden bir tanesi Oregon Bölgesidir. Fakat bu çalışma Arizona bölgesinde hüsranla sonuçlanmıştır. Yoğunluk fonksiyonu “Bayes Kuralı” ile hesaplanırken bu bölgede “Poisson dağılımı” etkili olmuştur. (Bu fonksiyon dağılımlarının ne olduğu hakkında çok detaylı bilgi almak isteyen okur Olasılık ve İstatistik kitaplarından detaylı bir şekilde bilgi edinebilir) Bu bölgede de depremin oluşması için önceden ne kadar depremin olduğunun bir önemi yoktu. Ve eğer bu bölgede deprem oluşmazsa deprem olma olasılığının artması gerekirken (Halkın bildiği teori) azalacağı yönündeydi. Dolayısıyla bir bölgede deprem yoğunluk fonksiyonunun tablosunu çıkarmak için örneklem tablosunun geniş tutulması gerekecektir.

Ayrıca ülkemizde gerçekleşecek ve büyük bir yıkım yaratacak İstanbul depremi 2030 yılına kadar bir süre içerisinde kesin gerçekleşeceği yönünde. Şiddet olarak 7.0 ve 7.5 arası olması öngörülüyor. Marmara bölgesinde bulunan fay hatlarının hareketleri göz önüne alındığında bölgenin hareketli olduğu sismologlar tarafından ifade ediliyor. Yerin gerçekleşme derinliğine bağlı olarak yıkımın büyük olması öngürülüyor.

Yazının bitiminde okurların Gölcük depreminde enkaz altından çıkarılan insanların havanın kıpkırmızı olduğunu ve anlaşılmayan bir ses duyduklarını ifade eden cümleleri sizce ne anlam ifade ediyor?

Her yıl çok sayıda deprem oluyor. Bu depremlerin bir kısmı insanlar tarafından hissedilemeyecek kadar düşük şiddette olurken bazıları sebep oldukları tahribatlar ile felaketlere yol açıyor. Richter büyüklük ölçeği -ya da kısaca Richter ölçeği- depremlerin şiddetini ölçmekte kullanılan, adını en sık duyduğumuz ölçek. Peki, Richter ölçeği tam olarak nedir ve bize depremler hakkında hangi bilgileri verir?

Richter ölçeği 1935 yılında Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü’nde çalışan Charles Francis Richter ve Beno Gutenberg adlı iki araştırmacı tarafından geliştirilmiştir. Logaritmik bir ölçek olan Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti şu formülle hesaplanır:

ML=log(A/A0(δ))

Bu formülde Mdepremin şiddetini, A Wood-Anderson sismografının maksimum sapmasını, A0(δ) ise depremin merkezinin uzaklığına bağlı olarak değişen bir fonksiyonu ifade eder. Şiddet hesaplama formülü 10 tabanlı bir logaritma içerdiği için depremin şiddetinin Richter ölçeğine göre 1 birim artması gerçek şiddetinin on katına çıkması anlamına gelir. Ölçeğin geliştirildiği zamandaki teknolojilerle ancak 3 ve daha büyük şiddetteki depremler ölçülebilmesine rağmen, aslında ölçeğin alt sınırı yoktur. Hatta günümüzde var olan hassas sismograflarla Richter ölçeğine göre değeri negatif olan depremleri bile belirlemek mümkündür (Birden küçük sayıların logaritması negatiftir).

Richter ölçeği ile büyüklüğü 8’den fazla olan depremlerin şiddeti ölçülemez. Çok büyük depremlerin şiddetini ölçmek için başka yöntemler kullanılır. Fakat diğer yöntemlere göre yapılan ölçümlerden de kamuya açık yayın organlarında “Richter ölçeğine göre” şeklinde değinilmesi yaygındır.

Richter ölçeği sadece depremin büyüklüğü hakkında değil depremde salınan enerji hakkında da bilgi verir. Bir depremin yıkıcı gücü, sallanma genliğinin 3/2’nci kuvveti ile orantılıdır. Dolayısıyla bir depremin şiddeti Richter ölçeğine göre bir birim arttığı zaman, depremin yıkıcı gücü 10(3/2)=31,6 katına çıkar.

sonraki yazı

Deprem ve Matematik

Dünyanın aktif deprem kuşaklarından biri olan Alp-Himalaya deprem kuşağı üzerinde olan ülkemizin yüz ölçümünün % 42’si birinci derece deprem kuşağında yer almaktadır. Bu nedenle deprem ile ilgili biraz daha bilgi sahibi olmak iyi olacaktır.

Sismoloji (Deprem Bilimi) terimi deprem anlamına gelen Yunanca “seismos” ve bir şey hakkında konuşmak anlamına gelen “logos” kelimelerinin birleşiminden oluşur.

Modern sismolojinin babası İrlandalı Robert Mallet olarak kabul edilse de temeli MÖ 4. yüzyılda, yeryüzü sarsıntılarına yeraltı boşluklarındaki hava hareketlerinin neden olduğunu düşünen Aristoteles’e kadar gider.

MS 2. yüzyılda Çinli astronom, şair ve matematikçi Zhang Heng insanların hissetmediği sarsıntıları bile tespit edebilen ilk sismografı icat etmiştir.

Ancak araştırmacılar bugün cisim dalgaları (yerküre içinde hareket eden dalgalar) ve yüzey dalgaları olarak sınıflandırılan sismik dalgaları 20. yüzyılın başlarında tam olarak anlayabildi.

Richter ölçeği Kaliforniya Teknoloji Enstitüsü’nde çalışan Charles Francis Richter ve Beno Gutenberg adlı iki araştırmacı tarafından 1935’te geliştirilen, bir depremin büyüklüğünü ve sarsıntı oranını ölçmek için kullanılan bir ölçektir.

Daha doğrusu bir zamanlar kullanılıyordu dersek daha doğru olacaktır çünkü şu anda kullandığımız ölçeğin adı Moment Magnitüd Ölçeği. Ancak bu yeni ölçekte Richter ölçeğine göre ayarlandığı için aralarında bizim ayrım yapabilmemiz pek de mümkün değil. Bu geçişin nedeni ise 7’den büyük depremlerde Richter ölçeğinin doğru sonuç verememesi.

Logaritmik bir ölçek olan Richter ölçeğine göre bir depremin şiddeti şu formülle hesaplanır:

M L = log (A / A 0 (δ))

Bu formülde Mdepremin şiddetini, A Wood-Anderson sismografının maksimum sapmasını, A0(δ) ise depremin merkezinin uzaklığına bağlı olarak değişen bir fonksiyonu ifade eder.

Peki depremleri ifade ederken kullandığımız rakamlar ne anlam ifade etmelidir bizler için…

Öncelikle şunu açıklığa kavuşturalım. Her ne kadar depremler için 6, 7, 8 gibi birer artan ifadeler kullanılsa da aslında şiddet hesaplama formülü 10 tabanlı bir logaritma içerdiği için bu sayılar logaritmik olarak 10’ar olarak artarlar.

Yani 6 şiddetinde olan bir deprem 3 şiddetinde olan bir depremden 6-3=3 ise 10.10.10= 1000 kat güçlü bir etkiye sahip olacaktır.

Richter ölçeği sadece depremin şiddeti hakkında değil depremde salınan enerji hakkında da bilgi verir. Bir depremin yıkıcı gücü, sallanma genliğinin 3/2’nci kuvveti ile orantılıdır. Dolayısıyla bir depremin şiddeti Richter ölçeğine göre bir birim arttığı zaman, depremin yıkıcı gücü 10(3/2)=31,6 katına çıkar. Bunu yaklaşık 30 olarak kabul edersek kabaca 7 şiddetindeki bir depremde salınan enerji miktarı 5 şiddetinde salınandan 900 kat daha büyüktür diyebiliriz.

Bir çok jeofizikçi bir depremin zamanını ve yerini tam olarak tahmin edemeseler de bunu hayvanlar daha iyi yapabilmekte.

Köpekler, bizim kulaklarımızın duyamadığı çok yüksek frekanslı P dalgalarını duyabiliyor. P dalgaları cisim dalgalarının bir tipidir. Bazen birincil ya da sıkışım dalgası olarak da adlandırılıyor. Diğer dalgalardan daha hızlı yol alıyor ve deprem sırasında ilk tespit edilen dalga tipi olarak biliniyor.

Cisim dalgalarının diğer bir tipi olan S (ikincil) dalgaları daha yavaştır ve parçacıkları dalganın kendisine dik yönde, ya aşağı yukarı ya da yanlara doğru hareket ettirirler.

Günümüzde sismik dalgalar artık anlaşılmış olsa da bilim büyük depremler sırasında ya da öncesinde gökyüzünde görüldüğü bildirilen çok renkli ışıkları henüz açıklayamıyor. Bu ışıklarının görülmesi MÖ 4. yüzyıla kadar dayanıyor. Araştırmacılar bu deprem ışıklarının, büyük sarsıntılardan önce stres arttıkça fay hattında oluşan pozitif yüklerin bir sonucu olabileceğini düşünüyor.

Doğanın güçlerine karşı şu an elimizde tam kesinleşen bir bulgu yok, varsayımlar üzerine konuşuyoruz ancak deprem kuşağında bir coğrafyada yaşadığımıza hatırlayarak bu konu hakkında farkındalık düzeyimizi arttırmamız oldukça önemli bir konudur.

Kaynak:  http://discovermagazine.com/2017/may-2017/20-things-you-didnt-know-about–earthquakes

 

 

sonraki yazı Matematik ve Richter Ölçeği

Matematik ve Coğrafya

Coğrafi rakamlar sadece mevsim şartları, sıcaklık, nem, derece, yağmur ölçümü vb. Sayılarla açıklanır. Coğrafi koşullar da zengin / fakir bir ülkenin ekonomisini tanımlar. Hindistan gibi birçok ülke, iklimi, yağışları, nehirleri ve hava durumu tahminleri nedeniyle tarımsal ekonomiye sahiptir.

Harita Oluşturmada, Gece ve Günlerin Oluşumu, Güneş ve Ay Tutulması, Boylam Enlem, Maksimum ve Minimum Sıcaklık, Barometrik Basınç, Deniz Seviyesinden Yükseklik, Yer Ölçümü, Uluslararası, Yerel ve Standart Zamanın Hesaplanması, Araçlar vb. Ve işte başka birçok hesaplama da var. Pencap, Haryana ve UP Hindistan’da çok verimli ülkelerdir, bu yüzden tahıl dükkanlarına katkıda bulunurlar, orada endüstriler kurulur ama bu eyaletlerde mayın yoktur.

Coğrafyada matematiğin kullanıldığı çeşitli yollardan söz edilir. Düzlem Öklid geometrisi alandaki küçük alanların araştırılmasında kullanılırken, matematiksel coğrafyanın her iki geleneksel öğesi olan harita çıkıntılarının yapımında küresel geometri ve trigonometri gerekir. 

Matematiğin coğrafyaya yeni uygulanmasında ağların mekânsal analizinde topoloji giderek daha fazla kullanılmaktadır. 

Grafik teorisi, drenaj desenleri gibi çeşitli ağ türlerini tanımlamak için endeksler sağlar. 

Jeomorfolojideki dinamik süreçleri incelemek için diferansiyel denklemler gerekir. Bölgesel coğrafya verilerinin tanımlanması ve analizinde trend yüzey analizi, faktör analizi, küme analizi ve çoklu ayırıcı analiz gibi istatistiksel teknikler uygulanabilir. 

Coğrafyadaki sorunları basitleştirmek için matematiksel modeller çeşitli şekillerde kullanılmaktadır. 

Yerçekimi modeli gibi analog modellerin örneklerinden bahsedilmiştir. 

Simülasyon modelleri ve Markov zinciri stokastik modelleri belirli coğrafi süreçlerin çalışılmasında değerlidir. 

Oyun teorisi kısaca belirtilmiştir. Son bölümde ise planlama ve öngörülere kısaca değinilmiştir. 

Eski lineer programlamada kullanışlı bir yöntemdir ve son trendde fitting ve extrapolation uygulanabilir. 

Coğrafya, matematiksel teknikleri benimsemede nicel değer ve hassasiyet konusunda büyük kazanım sağlamıştır. 

Son bölümde ise planlama ve öngörülere kısaca değinilmiştir. Eski lineer programlamada kullanışlı bir yöntemdir ve son trendde fitting ve extrapolation uygulanabilir. 

sonraki yazı Deprem ve Matematik

Matematik ve Müzik

Matematik ve Müzik arasında bir ilişki var mı?

Matematiğin Müzik ile ilgili olduğunu göstermek için bu konuyu oluşturmaya karar verdik, çünkü birçok kişi müzikte Matematik olduğu gerçeğini görmezden geliyor. Belki Math’ı sevmiyorsun ama endişelenme; Her bir kavramı basit bir şekilde anlatmaya çalışacağız, sadece sese olan duyarlılığımızın beynimizdeki mantığa bağlı olduğunu bilmeniz için. Bu gerçekten ilginç, bu yüzden önyargılarını bir kenara bırak. İyi öğrenildiğinde tüm bilgiler güzeldir.

Müzik konusundaki matematik konusuna gitmeden önce, bazı temel kavramları hatırlayalım.

Müzikte Fizik

Tamam, buradaki web sitesinde ilk başlıklarda , sesin bir dalga olduğunu ve sesin frekansının müzik notunutanımlayan şey olduğunu yorumladık . Fakat frekans nedir? Bu bir tekrarlamadır. Örneğin, bir bisiklet tekerleğinin döndüğünü hayal edin. Bu tekerlek 1 saniyede bir dönüş yaparsa, bu tekerlek frekansının “saniyede bir dönüş” veya “bir Hertz” olduğunu söylüyoruz. Hertz, yalnızca bir frekans birimini temsil eden bir addır ve normal olarak “Hz” ile kısaltılır. Örneğimizin bu tekerleği saniyede 10 tur tamamlarsa, frekansı 10 Hertz (10 Hz) olacaktır.

Güzel, ama sesle bağlantı nerede? Ses bir dalgadır ve bu dalga belirli bir frekansta salınır. Bir ses dalgası bir saniyede bir salınımı tamamlarsa, frekansı 1 Hz olacaktır. Bir saniyede 10 salınımı tamamlarsa, frekansı 10 Hz olacaktır. Her frekans için farklı bir sese (farklı bir nota) sahip olacağız. Örneğin bir not, 440 Hz’lik bir frekansa karşılık gelir.

Müzikte matematik

Ve Matematik müzikte nereye girer? Bir frekans 2 ile çarpıldığında notun hala aynı olduğu görülmüştür. Örneğin, 2 = 880 Hz ile çarpılan A (440 Hz) ayrıca bir A’dır, ancak sadece bir oktavdır . Eğer hedef bir oktavı düşürmek olsaydı, sadece 2’ye bölünmesi yeterli olurdu, o zaman bir not ile onun notunun ½ arasında bir ilişki olduğu sonucuna varabiliriz.

Çok iyi, devam etmeden önce, geçmişe, Eski Yunanistan’a dönelim. O zamanlar Pisagor adında bir adam vardı ve Matematiğe (ve müziğe) gerçekten önemli keşifler yaptı. Oktavlar hakkında gösterdiğimiz şey, gerilmiş bir dizeyle “oynamayı” keşfetti. Ekstremitelerine bağlı gerilmiş bir ip hayal edin. Bu dizgiye dokunduğumuzda titrer (aşağıdaki çizime bakın):

Pisagor, bu ipi iki parçaya bölmeye karar verdi ve her ekstremiteye tekrar dokundu. Üretilen ses aynıydı, ama daha akuttu (çünkü yukarıdaki bir oktav aynı nota idi):

Pisagor orada durmadı. İp 3 parçaya bölünmüşse sesin nasıl olacağını deneyimlemeye karar verdi:

Yeni bir sesin çıktığını fark etti; öncekinden farklı. Bu sefer, yukarıdaki bir oktavla aynı nota değil, başka bir isim alması gereken farklı bir nota değildi. Bu ses, farklı olmasının yanı sıra, bir öncekiyle iyi çalıştı, kulağa hoş bir uyum yarattı, çünkü bu bölümler şimdiye kadar Matematik ilişkilerinin 1/2 ve 2/3 olduğunu gösterdi (beynimiz iyi tanımlanmış mantık ilişkilerini sever).

Böylece alt bölümler yapmaya ve sesleri matematiksel olarak ölçekler yaratan ölçekler yaratarak birleştirerek, daha sonra bu ölçekleri çalabilecek müzik aletleri yaratılmasını teşvik etti. Tonlu aralığı, örneğin, bu ses dengesiz ve gergin dikkate almak beynimizi kılan bir ilişki 32/45, karmaşık ve yanlış ilişki, faktör elde edilmiştir. Zamanla, notlar bugün bildiğimiz isimleri alıyordu.

Matematik ve müzik ölçekleri

Birçok halk ve kültür kendi müzik ölçeklerini yarattı . Buna bir örnek, Pisagor fikriyle başlayan (dizeleri kullanan) Çin halkıdır.

Uzatılmış bir dizgede C çaldılar ve daha önce gösterdiğimiz gibi bu dizgiyi 3 parçaya böldüler. Bu bölümün sonucu G notu oldu. Bu notların uyumu olduğunu fark ettim; G ile başlayan prosedürü tekrarladılar, bu ipi tekrar 3 parçaya böldüler, D notu elde ettiler. Bu not, G ve C ile hoş bir uyum gösterdi. Bu prosedür D’den başlayarak A ile sonuçlandı. A’dan başlayarak, E aldılar.

Bu ipi tekrar üç parçaya bölme prosedürünü bir kez daha tekrarladılar ve B ile sonuçlandılar, çünkü bir sorun vardı, çünkü B C ile oynandığında iyi uymuyordu (deneyin ilk notu). Aslında, bu notlar birbirlerine “yakın bir rahatsızlığa” neden olan birbirine çok yakındı.

Bu nedenle Çin, B’yi bir kenara alarak C, G, D, A ve E notlarını alarak bölümlerini tamamladı. Bu notalar, Çin Notaları için temel teşkil etti ve 5 nota ( Pentatonic ) ile ölçeklendi . Bu Pentatonik Ölçek, hoş ve ünsüz olmak için, her zaman uyum ve istikrarla bağlantılı olan Oryantal Kültürü çok iyi temsil etti.

Pentatonic Scale, yaratılışından bu yana, “ Pentatonic Scale ” başlığında söylediğimiz gibi, melodiler için iyi bir seçenek . Ama şimdi notların ve frekansların konusuna dönelim, çünkü ölçeğin 5 notunu gösterdik.

12 notun matematiği

12 nota ile çalışan batı müziği B notalarını Oryantal Kültür’ün yaptığı gibi atmadı. Batılı insanlar, C ve B notalarının birbirine yakın olduğunu gözlemledi ve daha kapsamlı bir ölçek oluşturmaya karar verdi. Bu ölçekte, tüm notlar birbiri ile aynı mesafeye sahip olmalıdır. Ve bu mesafe C ve B (bir yarı ton ) arasındaki aralık olmalıdır . Başka bir deyişle, C ve D arasında, örneğin, bir ara not bulunmalıdır, çünkü C ve D (bir ton) arasındaki mesafe C ve B mesafesinden (bir yarı ton) daha büyüktür. Bir frekans analizi yoluyla, B notundaki frekansın 1.0595 sayısı ile çarpılmasının C frekansına geleceğimiz keşfedildi.

B frekansı: 246.9 Hz

C frekansı: 261.6 Hz

B frekansını 1.0595 ile çarparak şöyle olur:

246.9 x 1.0595 = 261.6 Hz (not C).

Amaç, diğer notalarla aynı ilişkiyi (mesafeyi) korumak olduğundan, bu notu C’den sonra hangi notun geleceğini bulmak için kullanacağız. C sıklığının 1.0595 ile çarpılması:

261.6 x 1.0595 = 277.2 Hz (keskin Not C)

C keskininden sonra ne olduğunu görmek için bu prosedürü tekrarlayın:

277.2 x 1.0595 = 293.6 Hz (not D)

Bu mantığı izleyerek tüm kromatik ölçeği oluşturabileceğimize dikkat edin ! Başka bir deyişle, C sıklığını on iki kez “1.0595” sayısıyla çarptıktan sonra, C’ye geri döneceğiz. Bu, “1.0595”, 12 √2 karekökünün sonucuna karşılık geldiği için mümkündür . 12 √2 ‘nin 12 kez kendi kendine çarptığına dikkat edin ( 12 √2) 12  = 2. Ve zaten 2 ile çarpılmış bir notun yukarıda bir oktav olduğunu gördük.

Şimdi bu sayıların tesadüfen gelmediğini açıkça görebiliyoruz. Başlangıçtan bu yana amaç, ölçeği ilk notun geri döneceği şekilde 12 aynı bölüme ölçek ayırmaktı.

O böyle oldu Eşit Ilıman Ölçeği da Kromatik olarak adlandırılan çıktı.

Müzikte Logaritma

Çok fazla ayrıntıya girmeyeceğiz, ama biraz Math’ı bilenler burada 2 numaralı logaritma ile çalıştığımızı fark ettiler. Bu nedenle, piyano yapımcıları piyano gövdesinde bir logaritma grafiği oluşturduğunu Müzikal Matematik Keşfi’ne referans vermek için. Kontrol et:

Logaritma grafiği örneği:

Vücut planı:

Müzikle ilgili birçok soruya daha birçok Matematiksel açıklama var, ama onları burada göstermek için Matematikte ileri konu hakkında konuşmak gerekir, Fourier dizileri, Riemann Zeta Fonksiyonu, vb. daha derine inme

Buradaki amacımız müziğin matematiksel olarak nasıl çalıştığını ve beynimizdeki mantıksal ilişkilerin nasıl anlaşıldığını, huzur ve gerginliği yarattığını göstermekti. Açıkçası, yaklaşımı kullanarak her şeyi yaptık (yuvarlak sayılar), çünkü daha doğru bir analiz okuyucuların çoğuna sıkıcı gelecektir.

Bu konuda öğrettiğimiz her şeyi ezberlemek gerekli değildir; sadece müziğin hiçbir yerden gelmediğini düşün. Müzik, sayısal bir organizasyonun sonucudur. Bütün bunların yorumlanması, harika ve gizemli beynimiz tarafından yapılır.

Sonuç olarak, eğer bir müzisyenseniz, yani (bir şekilde veya başka bir) matematikçisiniz, çünkü müzik dinlerken hissedeceğiniz zevk duyguları bilinçaltı hesaplamaları gizler. Beyniniz hesaplamaları sever, bu bir hesaplama makinesidir! Ne kadar çok pratik yapar, müzik okur ve bilir, bu fakülte o kadar çok gelişir. Muhtemelen daha önce size büyük hisler getirmeyen şarkıları dinlerken zevk almaya başlayacaksınız.

Bunu ilk yarıyılda Fizik öğrencisiyle karşılaştırabiliriz. Modern bir Fizik kitabı okursa, ona Yunanca gibi görünür. Ona hiç zevk vermeyecek. Fakat birkaç yıl sonra iyi bir Matematik temeline sahip olacağı ve bu kitapla yeniden yüzleşeceği zaman, belki konuyu sevebilir ve hayatının geri kalanını bunun içinde geçirmek isteyebilir.

sonraki yazı

Müziğin büyülü matematiği

Gökbilimci Galileo Galilei, 1623’te tüm evrenin “matematik dilinde yazıldığını” gözlemledi ve gerçekten de, bilim ve toplumun matematiksel düşüncelerle yönetilme derecesi dikkate değer. Belki de daha da şaşırtıcı olan, müziğin, bütün tutkusu ve duygusuyla birlikte, matematiksel ilişkilere dayanmasıdır. Oktav, akor, pul ve anahtar gibi müzikal kavramların hepsi basit matematik kullanılarak basitçe anlaşılabilir ve anlaşılabilir.

Adım: dalga frekansları

Müzik sihirle yayılıyor, pahalı müzik setinizden kaçıyor – ya da yüksek sesle geçen bir araba radyosundan ya da gitar çalınan bir maestrodan – ve kulak zarlarınızı tek bir baskınla dolduruyor. Aslında, ses havada bir dalga olarak ilerler ve ses bir atmosfer olmadan üretilemez. (Ya da korku filmlerinin söylediği gibi: uzayda kimse çığlık attığını duyamaz.)

Bir ses dalgası daha yüksek ve daha düşük hava basıncının küçük ceplerine neden olur ve duyduğumuz tüm seslere bu basınç değişikliklerinden kaynaklanır. Müzik ile bu ceplerin kulağınıza çarpma sıklığı duyduğunuz ses tonunu kontrol eder.

Örneğin, “Orta C” (genellikle piyano derslerinde öğrenilen ilk nota) adlı notu düşünün. Bu not yaklaşık 262 Hertz frekansına sahiptir. Bu, Orta C çalındığında, her saniye kulağınıza 262 cep daha yüksek hava basıncı çarpması anlamına gelir. Aynı şekilde, hava cepleri o kadar hızlı gelir ki, bir cep her 0.00382 saniyede bir kulağınıza vurur. Bir cep havası geldiğinde her seferinde bir X koyarak bir grafik çizebiliriz:

Bu grafik, Orta C’nin bir tür “resmini” sağlar. Kendi başına bize fazla bir şey söylemez. Ancak, bu tür grafikler farklı müzik notaları arasındaki ilişkilere yeni bir bakış açısı sağlar.

Temel bir kural, daha yüksek eğimli notaların daha sık hava cebi girişlerine karşılık gelen daha yüksek bir frekansa sahip olmasıdır. Örneğin, Orta G notu (Orta C’den daha yüksek yedi ton), saniyede 392 hava cebine karşılık gelen yaklaşık 392 Hertz frekansına veya gelenler arasında saniyede 0.00255 saniyelik bir zaman dilimine sahiptir:

Daha yüksek nota sahip (Orta G) hava cepleri daha sık gelir – daha yüksek bir frekansa ve dolayısıyla grafikteki daha fazla X’e karşılık gelir.

Bir ambulans sireni veya bir tren düdüğü dikkatlice dinlerseniz, araç yaklaşırken gürültünün daha yüksek ve araç geçtikten sonra daha alçakta olduğunu fark edeceksiniz. Bunun sebebi, yaklaşan hareketin X’leri bir araya sıkıştırması, daha sık gelmesi ve daha yüksek bir adım üretmesidir, çıkış hareketi X’in gerilmesi ve daha düşük bir adım üretmesidir. Bu, eylemdeki müzikal frekanstır.

Peki bu bize nasıl yardımcı oluyor? Eh, ses frekansları bilgisini dikkatli kullanarak, oktav ve akor gibi müzikal gizemleri çözülebilir.

Eğlenceyi ikiye katlayın: Octaves

Hiçbir nota, birbirinden tamamen tek oktav olanlardan daha iyi uymuyor. Orta C ve Yüksek C veya Orta G ve Yüksek G gibi nota çiftleri. Bu tür çiftler, popüler bir müzikte, gökkuşağının üzerindeki klasik Somewhere’in ilk iki notadaki gibi , ya da ilk “Ben şarkı … ” Yağmurda şarkı söylemek – ya da üçüncü doğum günün kutlu olsun ilk iki notu .

Genellikle bir senfonide, bir enstrüman (keman gibi), başka bir enstrümanınkinden bir oktav (kontrbas gibi) çalar. Piyano düzenlemeleri kaçınılmaz olarak farklı oktavlarda aynı notayı içerir. Mavi ya da caz müziğinin doğaçlama yaparken, pek hangi konularda oktav , oynamak için tercih sadece notlar hangi içinde size oynamayı tercih oktav. Bir oktav olan Notlar, neredeyse aynı nota veya en azından aynı nota yeni bir varyasyona benzer.

Notları bir oktavın birbiriyle çok iyi uymasını sağlayan şey nedir? Orta C’nin tam üzerinde bir oktav olan Not Yüksek C’yi düşünün.

Yüksek C için hava cepleri her 0.00191 saniyede bir gelir. Bu tam olarak Orta C’nin zaman periyodunun yarısıdır (ya da sıklığının iki katı). Yüksek C’nin gelişi rastgele ya da keyfi değil ya da şapkadan seçilmemiştir. Daha ziyade, bunlar kesinlikle Orta C’ye gelenlerin iki katı.

Bu, oktavların evrensel bir gerçeğidir. Bir oktav yukarı çıkmak her zaman frekansı iki katına çıkarmakla aynıdır. Yüksek C sıklığının Orta C’nin iki katı olduğu gibi, Yüksek D’nin sıklığı da Orta D’nin iki katıdır. Bir oktavın birbirinden ayrı olduğuna dair notlar her zaman bu temel ilişki tarafından birleştirilir.

Hem Orta C hem de Yüksek C’yi aynı anda oynarsak, hava cepleri belirli bir düzende birbirine uyar:

Yüksek C sıklığı, Orta C’nin tam olarak iki katı olduğundan, iki nota mükemmel bir şekilde sıralanır. High C’ye giden her iki hava cebi , Middle C’ye bir varışa mükemmel şekilde karşılık gelir . İki notadaki X’ler tam olarak eşleşir. İki notun birbirine çok iyi uymasının ve gerçekte neredeyse aynı olmasının nedeni budur. Yüksek basınçlı hava cepleri mükemmel senkronizasyona ulaşıyor.

Benzer şekilde, Yüksek D’nin Orta D’ye çok iyi uymasının ve gerçekte herhangi bir notun yukarıda veya altında bir oktav nota ile çok iyi uymasının nedeni de budur. Her durumda, bir notun sıklığı diğerinin frekansının tam olarak iki katıdır ve mükemmel bir uyum sağlar.

Bunu görmenin kolay bir yolu bir gitarda. Orada, on ikinci perdede gitar teli basmak teli tam olarak yarıya indirir. Bu, tam olarak iki kat daha hızlı titreştirir. Bu iki kat daha yüksek bir frekansa neden olur ve bu nedenle bir oktav daha yüksek bir nota karşılık gelir. Örneğin, bir gitarın ilk teli normalde Orta E’ye ayarlanmıştır. On ikinci perdeyle aynı teli çalmak, frekansı iki kat daha yüksek olan bir oktav notu olan Yüksek E üretir.

Aynı desen oktavları arttırdıkça devam ediyor. Orta C’nin üstündeki iki oktav (bazen Yüksek Yüksek C olarak adlandırılır), Orta C’nin dört katı frekansa sahiptir. Ve bunun üstünde bir oktav olan Sekizinci Orta C’ninkinin frekansına sahiptir. oktav ve sonsuza dek frekansları iki katına çıkarmak – ancak belirli bir noktadan sonra, notlar yalnızca köpeklerin duyabileceği kadar yüksek olurdu.

Mükemmel uyum içinde

Bir oktavın birbirinden çok iyi uyduğuna dikkat edin. Bir anlamda, birbirlerine çok iyi uyuyorlar. Birlikte Orta C ve Yüksek C oynarsanız, o zaman hiçbir uyumsuzluk yoktur. Ancak, sonuç bir tür oyuk hatta sıkıcı geliyor. Başka notlar da getirirsek akorlar gibi daha ilginç kombinasyonlar ortaya çıkar. Ama hangi notalar kulağa hoş geliyor, hangileri kulağa hoş gelmiyor?

Orta C ve Orta G notalarını göz önünde bulundurun. Aslında, bu notalar “beşinci” bir aralık oluşturur ve birbirine iyi uyar. Ama bu neden? Peki, dalga grafiklerini birlikte inceleyelim:

Middle C’nin her ikinci gelişinin, Middle G’nin üçüncü gelişiyle neredeyse mükemmel bir şekilde hizaya geldiğini görüyoruz, bir kez daha, iki dalga paterni birbirine iyi uyuyor. İki nota çarpışma yerine birbirini tamamlıyor. Bu yüzden pek çok müzik C ve G notalarını içerir – gümüş huş ağacı Land’in korosunun ilk iki notasından, Star Wars müzikal temasının ilk iki notasına kadar .

Middle G için 3 zaman periyodu Middle C için 2 zaman periyoduna karşılık geldiğinden, Middle G’nin frekansının Middle C’nin 3/2 katı kadar olduğunu söyleyebiliriz. 3/2 güzel, basit bir kesirdir. , bu yüzden C ve G birlikte iyi geliyor.

Buna karşılık, C ve F-Sharp notaları birbirine iyi uymuyor. Eğer bu iki not birleştirilirse, kulağa doğru gelmiyor. Nadiren, en azından sürekli bir şekilde olmayan, müzik besteleri veya herhangi bir tür şarkıda çift olarak görünürler. Grafiklerine bir bakış nedenini açıklar:

Bu sefer, X’ler sıraya girmedi. Birbirleriyle basit ilişkileri yoktur. Uyum sadece orada değil. (Pekala, C için beş zaman periyodunun yedi F-Sharp periyodundan çok uzakta olmadığı doğrudur . bekleyin.) Yani, C’yi F-Sharp ile birleştirmek çok iyi değil, fakat C’yi G ile birleştirmek iyi çalışıyor. Bu temel gerçekler, en sevdiğiniz müzik tarzından bağımsız olarak uygulanır.

Bir akor vuruşu

C ve G notalarını birleştirmek, iyi fakat çok heyecan verici olmayan bir ses çıkarır. Gerçekten hoş bir ses elde etmek için üçüncü bir not ekleyelim: E. Orta E, Orta C’nin üzerinde dört yarı ton (“üçüncü bir” “) ve Orta G’nin altında üç yarı ton (” küçük bir üçüncü “) iken Her üç nota birlikte çalınır, berber dörtlüsü gibi tatlı bir şekilde uyumlu, mutlu bir ses olan “C ana akor” u oluşturur. Row, kürek, kürek, kürek ve Mozart ve Beethoven ve Major Major Major’daki senfoniler ve Schubert gibi çeşitli müzikler için temel oluşturur .

Bu üç nota neden – C, E ve G – birlikte çok tatlı geliyor? Bir bakalım.

X’in çizgisinin kesin olarak mükemmel bir şekilde sıralandığını görüyoruz. Aslında, Orta C için 4 zaman periyodu ve Orta E için 5 zaman periyodu ve Orta G için 6 zaman periyodu pratik olarak eşittir. Yani, her 0,015 saniyede bir, X’lerin hepsi aynı hizada.

Bu nedenle, X’lerin belirli bir kısmı bu üç not için sıraya girmese de, epey bir kısmı öyle. Çeşitlilik ve tutarlılığın bu birleşimi, insanlık için bilinen en hoş seslerden biri ve Mendelssohn’dan Metallica’ya kadar olan melodilerin temeli olan C Major akorunu üretmek için gereken şeydir.

Bu yüzden, insanlığın güzel müzik arayışı, farklı notaların hava ceplerinin X’lerini dizmek için yaratıcı ve ilginç yollar bulmak anlamına geliyor.

Öfke, öfke

Öyleyse neden C ve G notaları birbirine iyi uyuyor, ancak C ve F-Sharp notaları uymuyor mu? Hangi notaların X’lerinin sıralanmasına ve hangi notaların sıralanmayacağına kim karar verir? Cevap, matematik karar verir!

Yüksek C’nin, Orta C’den iki kat daha büyük bir frekansa sahip olduğunu unutmayın. ve benzeri – Orta C ve Yüksek C arasında sıkışmış. Frekansları nelerdir? Nasıl uyuyorlar?

Erken müzisyenler – BCE altıncı yüzyılın Yunan matematikçi ve müzisyen Pisagoru kadar – her anahtar için özel olarak müzik aletleri ayarladılar. Örneğin, C tuşunda oynarken, Middle G notu, frekansı Middle C’nin tam olarak 3/2 katı olacak şekilde ayarlanmış olacak ve bu , X’in çizgisine tam olarak uymasını sağlayacak, böylece notlar tam olarak birbirine uyacak. . Ancak, bu sistem hangi notaları çalmayı planladığınıza veya hangi anahtarda müzik yazdığınıza bağlı olarak farklı ayarlamalar gerektiriyordu.

Son birkaç yüz yılda, bunun yerine daha evrensel bir sistem kullanılmıştır. Eşit tavlama denilen, iyi tavlamanın bir sürümü olarak adlandırılan bu sistem, oktavın on iki notalarını eşit olarak yerleştirir. Bu şekilde, seçilen tuşa veya çalınan müziğe bakılmaksızın tek bir ayar kullanılabilir.

Eşit tavlama, her oktavı on iki eşit yarı-tona ayırmak için bir sistemdir. Her bir oktav, frekansı 2 katıyla çarpmayı temsil ettiğinden , her yarı ton, frekansı 2’nin on ikinci köküyle çarpmayı temsil eder – on iki kopya hep birlikte çarpıldığında iki üreten sayı. Bu sayı yaklaşık 1.059463’tür, çünkü hepsi birlikte çarpılan 1.059463’ün on iki kopyası 2’ye eşittir.

Peki bu ne anlama geliyor? Orta C ile taban olarak başlarsak, Orta C’nin yarı tonu üzerinde olan Orta C-Sharp, Orta C’nin 1.059463 katı olan Orta C’den daha büyük olan bir frekansa sahiptir. 1.059463 ile çarpılan 1.059463 veya 1.122462 ile çarpılan bir frekans.

Bu şekilde devam edersek, sonunda Orta G’ye, Orta C’nin üzerinde yedi yarı tona ulaşıyoruz. Orta G’nin frekansı, Orta C’nin 1.498307 katıdır.

Fakat bekle. 1.498307, neredeyse tamamen 1.5 veya 3/2 ile aynıdır. Bu, neden Orta G için her üç zaman diliminde, Orta C için iki zaman dönemine karşılık geldiğini açıklar. İki frekansın, basit bir oranı vardır, 3/2, ve bu yüzden birbirine çok iyi uyuyorlar.

Benzer şekilde, Orta E’nin frekansı Orta C’nin 1.259921 katıdır. Bu oran 1.25 veya 5 / 4’e çok yakındır ve Orta E için her beş zaman periyodunun neden Orta C için dört zaman periyoduna karşılık geldiğini açıklar. G, not E de C ile iyi uyuyor.

Bir başka iyi örnek, frekansı Orta C’nin 1.334840 katı olan Orta F notudur. Bu, 1.333333 veya 4/3’e çok yakındır. Ve gerçekten de, C ve F aynı zamanda iyi uyum sağlarlar (aralıklarına “dördüncü” denir).

Öte yandan, Middle F-Sharp’ın, Orta C’nin 1.414214 katı olan bir frekansı vardır. 1.414214 sayısı, herhangi bir basit basit kesime çok yakın değildir (1,4 veya 7/5’den çok uzak değildir, ama 7 gibi rakamlar fazla yardımcı olamayacak kadar büyüktür). Bu nedenle F-Sharp ve C notaları birbirine iyi uymuyor.

Bu nedenle, hangi notaların birbirine iyi uyduğunu bulmak için, deneme, yanılma ya da müzik teorisini yıllarca incelemeye gerek yok. Eşit tavlama ilkesini hatırlamamız ve basit bir frekans oranı alıp almadığımızı görmek için birlikte 1.059463 kopyalarını çoğaltmamız gerekir.

Anahtarın kilidini açma

Deneyimli müzisyenler her zaman hangi anahtarın çalınacağını tartışırlar. Bir caz müzisyeni için, ritim aldığımda, ritim aldığımda , “Tabii dostum. Hangi anahtar?”

Bir şarkının anahtarını değiştirmek tüm notları aynı miktarda artırır veya azaltır. Bu değişiklik, şarkıyı belirli bir müzik aletinde çalmayı daha uygun hale getirebilir veya bir vokalistin eşlik etmesi için daha rahat hale getirebilir. Düzgün yapılırsa, anahtar değişikliğinin, şarkının “sesler” üzerinde hiçbir etkisi olmamalıdır – yeni anahtarda eskisi kadar tanınabilir, tıpkı güzel ve aynı derecede çekici olmalıdır. Aslında, tam olarak aynı şarkı olmalı, sadece daha yüksek veya daha düşük bir adımda yapılmalıdır.

Bu nasıl olabilir? Bir şarkı nasıl aynı olabilir ama farklı olabilir? Sesi değiştirmeden perdesi nasıl değiştirebiliriz?

Frekans anlayışımızdan cevap açıktır. Notları yükseltmek (diyelim) için, frekanslarını daha hızlı yaparız, yani X’leri birbirine yaklaştırır. Fakat şarkıyı aynı yapmak için, X’ler arasındaki ilişkileri tıpkı eskisi gibi bırakıyoruz . Her X satırını aynı faktörle sıkıştırıyoruz. Aynı şekilde, her notu tam olarak aynı sayıda yarı ton yükseltiriz.

Örneğin, C anahtarında bir şarkı çaldığınızı ve önceki gibi C, E ve G notaları olan bir C Major akor kullandığınızı varsayalım. Daha sonra E’nin anahtarına geçmek ve bunun yerine E Major akorunu kullanmak istersiniz. Bunu nasıl yapıyorsun?

Peki, Orta C’yi Orta E olarak değiştirmek için notu dört yarı ton kadar yükseltmeniz veya frekansı 1.259921 ile aynı değerde çarpmanız gerekir. Bu yüzden, akorun sesini korumak için , diğer iki nota ile aynı şeyi yapmanız gerekir . Ayrıca Orta E, Orta G-Sharp’a dönüşmek için frekansı 1.259921 ile çarpan dört yarı ton kadar yükselir. Ve, Middle G dört yarı tondan High B’ye yükseldi. Sonuçta ortaya çıkan hava cep gelişleri şöyle gözüküyor:

Böylece, dört yarı ton (veya 1.259921 faktörü) dışında, C Major’a benzeyen bir Akordu E Major oluşturduk. E Major akoru, daha önce gördüğümüz C Major akoru kadar tatlı, aynı derecede hoş geliyor. Tek fark, E Major akorunun biraz daha yüksek olması. Anahtarları C’den E’ye başarıyla değiştirdik.

Bu E Major akoru (E, G-Sharp ve B’den oluşan) ve önceki C Major akoru (C, E ve G’den oluşan) arasında birçok benzerlik vardır. Her birinde, üst sıradaki her dört boşluk ve orta sıradaki her beş boşluk ve alt sıradaki altı boşluk, hepsi iyi sıraya dizildi. Böylece, her küçük zamanda, üç satır için de X’ler neredeyse birbirlerinin üzerindedir. Bu yüzden iki akor aynı hoş sese sahip.

Öte yandan, E Major için bu birleşme daha hızlı gerçekleşir. C Major için, X’in her 0.015 saniyede bir kez sıralaması, E Major için ise her 0.012 saniyede bir kez sıraya girmesi. Bu yüzden, E Major – her bakımdan C Major’a benzer şekilde ses çıkarırken – vokalistin iyi takdir edebileceği gerçeği de biraz daha yüksek.

Bu yüzden bir dahaki sefere yeni caz müziğine olan muzaffer performansında güzel bir yıldıza eşlik ediyorsun ve sana dönüp göz kırparak, “Bu sefer C yerine E tuşuyla yapalım” diyor panik. Tüm frekanslarınızı 1.259921 faktörü ile yükseltin ve izleyicinin vahşi alkışını bekleyin.

sonraki yazı Matematik ve Müzik

Müzik ve Matematik Arasındaki Bağlantı

Ünlü Yunan filozofu ve matematikçi Pisagor, bir keresinde “tellerin uğultusunda geometri var, kürelerin arasında bir müzik var” dedi. Pythagoras aslında bu ifadeyi doğrudan bir şiir olarak yorumluyor olsa da müzik ve matematik arasındaki ilişki. Görüyorsunuz, müzik tamamen matematikle iç içedir, öyle ki temel bir akor bile matematiksel olarak tanımlanabilir. Müzik ve matematik arasındaki bağlantıyı daha da vurgulamak için, matematiği dalga frekansları, ölçekler, aralıklar ve sesler gibi ortak müzikal kavramlarda inceleyelim.

Müzik ve Matematik Çalışmaları Tarihi

Müziğin performans ve zevk için uzun süredir çaldığı yaygın bir bilgi olmasına rağmen, müzik çalışması, özellikle de matematikle ilişkisi, performans için müzik kadar eşit bir şekilde devam etmektedir. Yunanlılardan Mısırlılara, Kızılderililere, Çinlilere, hemen hemen her eski uygar kültür, müzik ve matematik arasındaki bağlantıyı inceledi . Ünlü filozof Plato’nun müziğe, özellikle de uyumlara aşırı bir ilgi duyduğu ve hem bireyin hem de toplumdaki önemini vurgulamasına yardımcı olduğu biliniyordu. Müzik ve matematik arasındaki ilişkiyi incelemenin önemini tespit eden tek filozof Plato değildi – antik Çin filozofu Konfüçyüs’ün müzik içerisinde bir takım temel gerçekler olduğunu söylediği söylenir.

Dalga frekansları

Müzik dinlediğimizde, bir şarkı ya da nota koleksiyonu duyduğumuzu varsayıyoruz, ancak beynimizin aslında işlediği ses dalgaları. Örneğin, bir nota çalındığında, ses dalgaları bir enstrümandan veya amplifikatörden hareket eder ve kulak davullarımızda yankılanır ve beynimize hangi adımın veya notanın çalındığını söyleyen bu ses dalgasının frekansıdır (örneğin orta C’nin üstündeki E yaklaşık 329.63 Hz’de yankılanır). Ses dalgalarını anlamak, özellikle de oktav notaları arasındaki fark biraz matematik ve fizik gerektirir. Belirli bir notun sıklığını bulmak için, sabit bir not alın (geleneksel olarak 440Hz frekansı olan A’nın orta C’sidir) ve 2 adımın on iki kökü ile çarparak yarım adım öteye kadar İstediğiniz not orta A’dan (not orta A’nın altındaysa), gücü negatif yapın). Bu seni şaşırtıyorsa, endişelenme! Aşağıda orta C frekansının nasıl bulunacağına bir örnek verilmiştir:

  • Orta C frekansı
    • = 440Hz * 2 (1/12) negatif 9. güce (orta C, A’nın 9 altında 9 adımdır)
      • = 440Hz * 0.59460
        • = ~ 261.625

Aralıklar ve Zil Sesleri

Bazı notaların veya aralıkların birlikte çalındığında neden hoş göründüğünü merak ediyorsanız, bunun için de matematiksel bir açıklama var! Yukarıda gösterildiği gibi, her notun benzersiz bir frekansı vardır, ancak bir araya getirildiğinde, bu frekansların tümü güzel bir harmonik akor yapmaz. Aslında, bazı not kombinasyonları oldukça delici ve sert gelebilir. Peki ne verir? Güzel bir sondaj akoru yapan aralıklar, benzer düzenlerde yankılanan ses dalgalarına sahip olma eğilimindedir. A (440 Hz) ve E (659.25 Hz) olan orta A ana aralığına bakalım. Her ses dalgasını inceliyorsanız, altta A, üstte E ise, E’nin frekansının A’nınkinden yaklaşık 3/2 daha büyük olduğu ve kolay ve sindirilebilir bir fraksiyon yaptığı anlaşılacaktır. Bu basit matematiksel ilişki, büyük ölçüde iki notun birlikte çok hoş görünmesine neden olurken, daha soyut bir kesir daha hoş olmayan, daha az hoş bir sesle sonuçlanacaktır.

Sınıfta Müzik ve Matematik

Müzik ve matematik arasındaki bağlantılar geniş ve karmaşık görünebilir, bu yüzden yardım etmek için, sınıfta müzik ve matematik arasındaki ilişkiyi incelemenin birkaç farklı yolu:

  • Desen etkinlikleri
    • Öğrencilerin bir deseni analiz etmelerini ve ardından kalıbın kurallarını bildirmelerini sağlayın.
    • Sonra, sıradakileri tahmin etmek için kuralı kullanmalarını sağlayın.
  • Notları ve dinlendirmeleri ekleme ve çıkarma
  • Kesirleri daha iyi anlamak için kompozisyonları inceleyin
  • Şekilleri, kesirleri, oranları, sıralama ve kombinasyonları anlamak için zaman imzalarını analiz edin

sonraki yazı Müziğin büyülü matematiği

Ritim, Ölçü, Ahenk: Müzik ve Matematik

Müzik ne kadar duygusal ve sıcaksa matematik bir o kadar mantıksal ve soğuk. Oysa araştırmalar müziğin ve matematiğin yakından ilişkili olduğunu gösteriyor. Öyle ki beynimiz müziğin içerdiği karmaşık duygusal mesajlardan başka içindeki matematiği algılayacak şekilde gelişmiş. Hatta müzikle uğraşmanın matematiksel algılamayı geliştirdiği öne sürülüyor.

Müziğin matematikle ilişkisinin anlaşılabilmesi için beynimizin müziği nasıl algıladığının ve müzik icra ederken nasıl çalıştığının keşfedilmesi gerekiyor. 

Müziği algılayabilmemiz için öncelikle seslere bazı “anlamlar” yükleyebilmemiz gerekir. Müzik seçilmiş frekanstaki seslerle yapılır. Bu seslere perde denir ve bir müzik aleti akort edilirken notalar bu perdelere göre ayarlanır.

Ritim algısı beyindeki işitsel ve motor işlevlerden sorumlu bölgelerde gerçekleşir. Bir müzik algısının oluşabilmesi için ritmin ve perdenin bir şekilde birbiriyle etkileşim halinde olması gerekir.

Müzik icra etmek ise en azından üç temel motor kontrol işlevi gerektiriyor. Bunlar zamanlama, notaları sıralama ve motor hareketlerin organizasyonu.

Zamanlama, yani sesleri ya da notaları neredeyse mükemmel bir şekilde doğru aralıklarla sıralayabilme, sinirsel bir “metronoma” sahip olduğumuzu gösterir. Bir piyanist on parmağıyla hiç şaşmadan bir dizi hareket yapar. Bu hareketin koordinasyonu yine beynin birçok farklı bölgesininin birlikte çalışması sayesinde gerçekleşebiliyor.

Araştırmalar, müzisyenlerin beyninlerindeki gri maddenin motor, işitsel ve görsel-uzamsal bölümlerinin hacimsel olarak farklı olduğunu göstermiş durumda. Bu da beynin ilgili alanlarının “kullanıma” bağlı olarak belirgin biçimde gelişim gösterdiği anlamına geliyor. Müzisyenlerin beyinlerinin bellekle ilgili kısmının da daha gelişmiş olduğu da uzun zamandır biliniyor.

İşitme duyularımızla algılayabildiğimiz titreşimlere ses diyoruz. Ses dalgaları, enerjinin yayılma biçimlerinden biridir. Sesin kaynağı kulağımızın algılayabileceği hızda titreşen herhangi bir cisim olabilir; bir yaylı çalgının gövdesi ya da bir hoparlörün diyaframı gibi.

Bir gitarın teline vurduğumuzda tel titreşmeye başlar. Ne var ki telin yüzey alanı çok küçük olduğundan havayı yeterince titreştiremez. Sesin bir şekilde yükseltilmesi gerekir. Bu işi gitarın gövdesi yapar. Her çalgının farklı ses karakterine sahip olmasının nedeni çalgının gövde yapısıdır.

Her ne kadar kulağımız hassas bir algılayıcı olsa da belli aralıktaki frekansları işitebilir. Bu saniyede yaklaşık 20 ile 20.000 titreşim aralığıdır. Frekans saniyedeki titreşim sayısıdır ve birimi Hertz’dir (Hz). (Hertz, 19. yüzyılda radyo dalgalarının nasıl oluştuğunu keşfeden bilim insanının adıdır.)

Bazı canlılar daha geniş bir frekans aralığını algılayabilir. Örneğin köpekler 50 ile 45.000 Hz, kedilerse 45 ile 85.000 Hz aralığındaki sesleri duyabilir. Yarasalar 120.000 Hz’e, yunuslarsa 200.000 Hz’e kadar olan sesleri algılayabilir.

Düşük titreşimli sesleri kalın (bas), yüksek titreşimli sesleriyse ince (tiz) algılarız. Yüksek frekanslı sesler yüksek perdeli, düşük frekanslı sesler düşük perdeli seslerdir. Müzik konusunda iyi eğitilmiş kişiler, frekansları birbirinden sadece 2 Hz farklı olan iki sesi bile birbirinden ayırabilir.

Eski Yunanlılar matematik ve müziğin ayrılmaz bileşenler olduğunu düşünürdü. Müziği oluşturan seslerin arasındaki matematiksel ilişkiyi keşfetmişlerdi. Yunanlı matematikçi ve filozof Pisagor’un öğretisine yer verilen okullarda müzik de aritmetik, geometri ve astronomi ile aynı düzeyde ele alınırdı.

Bir telli çalgının çalışma prensibini anlayarak, bu notaları oluşturan sesler arasındaki matematiksel ilişkiyi biz de keşfedebiliriz. Evimizdeki herhangi bir telli çalgıyı bunun için kullanabiliriz. Eğer telli bir çalgımız yoksa, bir parça tahta ve bir tel (bir gitar teli ya da misina olabilir) kullanarak basit bir çalgı yapabiliriz.

Yaklaşık yarım metre uzunluğundaki bir tahtanın iki ucuna çiviyle tutturarak gereceğimiz telin altına, tahtanın iki ucuna yakın yerlere birer destek koymalıyız ki tel tahtadan biraz uzaklaşsın ve serbestçe titreşebilsin. Destek olarak kalem kalınlığında iki tahta parçası kullanabiliriz.

Telin herhangi bir yerine parmağımızı bastırmadan çalgımızın teline vurduğumuzda çıkan sese “armonik” denir. Bu aynı zamanda, tek telli çalgımızın çıkarabileceği en kalın sestir. Buna “çalgının temel frekansı” da denir.

Çalgımızın temel frekansının 220 Hz (saniyede 220 titreşim) olduğunu varsayalım. Bu frekans, bir piyanonun üçüncü oktavındaki “la” notasının frekansıdır (Buna kısaca la3 diyelim).

Telin rastgele seçeceğimiz yerlerine parmağımızla bastırıp tele vurarak değişik frekansta sesler elde edebiliriz. Parmağımızı telin tam ortasına basarak tele vurursak, kulağımıza telin birinci armoniğiyle uyumlu gelen bir ses duyarız. Bu ses, bir oktav yukarıdaki la notasıdır (la4) ve frekansı telin temel frekansının iki katı, yani 440 Hz’dir.

Şimdi, telin yarı uzunluğunu tekrar ikiye bölelim; telin 1/4’üne denk gelen noktaya basalım. Telin kısa tarafına vuralım. Duyacağımız ses yine la (la5) notasıdır, ama bu kez frekans dört katına, 880 Hz’e çıktı; yani bir oktav daha inceldi.

Burada görebileceğimiz gibi, oktavlar arası çok basit bir matematiksel ilişki var. Beynimiz bir şekilde bu matematiksel ilişkiyi algılayabiliyor ve aralarında matematiksel bir ilişki bulunan sesler bize uyumlu geliyor.

Aslında elimizde bir cetvel yoksa telin tam ortasını göz kararı bulmak zordur. Ama müzik kulağı iyi olan biri telin tam ortasını çok hassas olarak bulabilir. Kulağımızın gözümüze göre çok daha duyarlı bir ölçüm aleti olduğunu söylersek pek de yanılmayız.

Oktavlar bir telin en basit biçimde bölünmesiyle elde edildiğine göre, kuşkusuz değişik notalar oluştururken ona da temel olacak. Bir oktav aralıklı iki do sesi arasında nasıl bir sayısal ilişki varsa, öteki notalar arasında da benzer bir ilişki vardır. Eğer bir oktavı rastgele değil de belirli oranlarda bölecek olursak farklı notalar elde ederiz.

Notalar arasında da matematiksel bir ilişki vardır. Şimdi, bu ilişkinin nasıl ortaya çıktığına bakalım.

Oktavdan sonraki en önemli aralık ‘’beşli’’dir. Bunun için tel üçe bölünür ve 2/3 oranındaki uzun bölümü titreştirilir. Beşli adı, başlangıç boyundaki tel ile boyu onun 2/3’ü oranındaki telin verdiği seslerin arasında beş nota bulunmasından gelir.

Bir başka aralıksa dörtlü olarak adlandırılır ve teli 3/4 oranında bölerek elde edilen ses ile orijinal ses arasındadır. Tüm bu notalarla elde edilen sesler, kulağa uyumlu gelir. Bu nedenle, çoğu geleneksel müzikte bu uyum gözlenebilir.

Telimizin temel frekansını 1 kabul edersek, ikinci armoniğin frekansı 2 olur (telin tam ortasına basarak elde ettiğimiz ses). Bu durumda yukarıda sözünü ettiğimiz bölünmeleri, ondalık sayılar biçiminde yazabiliriz.

Yedi notalı sisteme göre sayısal bölünme, yedi notaya karşılık gelen frekans oranları şöyle olur: Do (1), re (1,125), mi (1,250), fa (1,333), sol (1,500), la (1,667), si (1,875).

En basit ve günümüzde de geçerli olan sistem, bir oktavın on ikiye bölünmesiyle elde edilen (bir oktavı oluşturan ana ve ara notalar) eşit aralıklı sistemin Johann Sebastian Bach tarafından oluşturulan halidir. Bu sistemde birbirini takip eden iki notanın frekansları arasındaki farkın katsayısı yaklaşık 1,1225’tir.

Bu bilgiler ışığında müziğin eğlence amacıyla dinlenen ya da icra edilen bir olgu olmaktan öte, atalarımızdan miras kalmış, beynimizin derinlerine kazınmış çok yönlü bir iletişim aracı olduğunu söyleyebiliriz.

Hem duygusal hem de fiziksel mesajlar veren, evrensel bir iletişim aracı…

Kaynak: matematiksel.org

sonraki yazı Müzik ve Matematik Arasındaki Bağlantı

Matematik ve Müzik

Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Bu iki disiplin, antik çağlardan beri karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Tabii ki matematik ve müzik arasında çok büyük farklılıklar vardır fakat diğer taraftan birbirleri ile çok yakın ilişki içindedirler. 
Bu makalede temel olarak üç başlık ele alınmıştır. İlk olarak müziğin temelindeki matematikten bahsedilmiştir. İkinci olarak müziğin matematik performansı üzerindeki etkilerine değinilmiştir. Son olarak ise müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki ele alınmıştır.

Pek çok düşünür ve pek çok matematikçi müzikle ilgili çalışmalar yapmışlardır. Tarih boyunca müzik, değişik matematiksel yaklaşımlarla ifade edilmeye çalışılmıştır.

Yapılan çalışmalar, müzik eğitiminin beyin aktivitelerini geliştirdiğini göstermektedir. Bu çalışmalardan elde edilen ortak sonuca göre; müzik eğitiminin matematik performansı ve bilişsel aktiviteler üzerine olumlu etkisi vardır. Müzik, genç yaşlardan itibaren çocukların gelişiminde çok güçlü bir etken olabilir. Matematik dünyada pek çok öğrenci için en sıkıntılı derslerden birisidir. Müzik özellikle okul öncesi eğitiminde matematik eğitiminde yeni bir yaklaşım alarak kullanılabilir. Bunların yanında , müzik yeteneği ve matematik yeteneği arasındaki ilişki eğitime yeni boyutlar katabilir. 

Sanat ve bilim genellikle birbirinden ayrı tutulan iki alandır. Bilim “doğru” yu, sanat ise “güzel” i temsil eder. Bilimde teoriler ve ispatlar vardır. Bir teori ortaya atılır ve bu teori belli prensiplere ve kurallara bağlı olarak sonuca ulaştırılır. Sanatta ise bireysel düşünceler daha ön plandadır. Kurallar ve prensipler, değişik zamanlarda değişik ekollere göre farklılık gösterebilir.
Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Matematik “doğru” olan, müzik ise “güzel” olandır. Matematikte teoriler değişik yaklaşımlarla ispatlanabilir. Matematikçiler bu ispatlarda “güzel” i yakalamayı amaçlarlar. Bir teorinin ispatındaki güzellik matematikçiler için bir doyum noktası olabilir. Aklımıza ispattaki güzellik nedir diye bir soru gelebilir. Daha kısa olması mı? Daha kolay olması mı? Sertöz’ün (1996: 6,7) “Matematiğin Aydınlık Dünyası” isimli kitabında Tosun Terzioğlu bunu ” matematiğin iç estetiği” olarak adlandırmaktadır ve bu yüzden matematiği sanatla bağdaştırmakta ve hatta en çok müzikle ilişkilendirmektedir. Öte yandan müzikte “doğru” yu bulmak daha zordur, “güzel” ise zaten müziğin doğasında vardır. Matematikte “doğru” dan sonra akla gelen “güzel”, müzikte bunun tam tersi olarak karşımıza çıkar. Müzikte önce “güzel” vardır, sonra “doğru”. Ancak bu tartışılabilir. “Hermann Weyl şöyle demiştir, “Çalışmalarımda her zaman doğru ile güzeli birleştirmeyi denedim; fakat bir tanesini seçmek zorunda kalsam, genellikle güzeli seçerim.” … İngiltere’nin önde gelen matematikçilerinden G.H.Hardy ise kitabında şöyle demektedir, “Dünyada çirkin matematiğe yer yok” ” (Rothstein,1996: 139). Matematikteki güzel bir ispat insanları kolay kolay ağlatmaz, öte yandan müzikteki güzel bir beste veya icra dünyadaki dengeleri hiçbir zaman değiştiremez.


Matematik, önünüze bir problem koyar ve çözmenizi ister. Bir süre sonra bir bakarsınız ki önünüze konulan problemler birbirleri ile bağlantılı, uyumlu, karışıklıklar içinde çok basit gerçekler gizlenmiş. Sizin bulmanızı bekliyor. Doğru, güzel ve uyumlu. Kimileri matematiğin doğadan geldiğine inanırlar. Matematik zaten vardır ve biz onu anlamaya çalışırız. Kimileri ise matematiği insanların yarattığına inanırlar. ” Müzik, nedensiz bir şekilde insanı harekete geçirmede etkilidir, matematik ise nedensiz bir şekilde doğayı harekete geçirmede etkilidir” (Winkel, 2000: 5).
Her iki disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. Ancak müzik bir açıdan daha şanslıdır. Hemen herkes az veya çok müzikten anlar ve zevk alır. Ancak matematik böyle midir? Birçok insan için matematik kısaca “baş belası” dır. İnsanlar matematiği sevmediklerini söylemekten sakınmazlar. Bazı insanlar için ise matematik hayatın kendisidir ve sevmenin bir yoludur. Bunun için de anahtar matematiği anlamaktır. 


Matematik ve müziği birbirinden ayıran önemli unsurlar olmasına rağmen bu iki disiplin birçok açıdan son derece ilişkilidir. Bu iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir. Her ikisinde de estetik vardır. Her ikisinde de evrensel bir dil vardır. Her ikisinde de bir stil vardır. Bir müzisyen Bach’ı nasıl ilk melodilerinden anlayabiliyorsa, bir matematikçi de Gauss’u ilk satırlardan fark edebilir. 
Matematik ve müzik ilişkisi çeşitli boyutlarda düşünülebilir; İlk olarak müziğin kökenindeki matematikten bahsedebiliriz. Müziğin armonik yapısı matematikseldir. Sadece matematikseldir demek yanlıştır ancak belirli kurallara bağlı olarak biçimlendirilir. Tarihin değişik dönemlerinde değişik kurallar uygulanmıştır ancak mutlaka matematiksel bir köken olmuştur. İkinci olarak müziğin bilişsel aktiviteler üzerine etkisi akla gelmektedir. Gerek arka plan müziği olarak kullanılan müzik, gerekse müzik eğitimi kişilerin bilişsel performanslarını dolayısı ile matematik performanslarını geliştirmektedir. Müzik pek çok insan için bir “eğlence kaynağı” , matematik ise pek çok insan için bir “baş belası” iken, müziğin matematik eğitimi üzerindeki olumlu etkilerini kullanmak oldukça akılcı bir davranış olacaktır. Bir diğer boyut ise nörolojik çalışmalar ile ilgilidir. Son yıllarda teknolojinin de hız kazanması ile birlikte insan beyni çeşitli tekniklerle incelenir duruma gelmiştir. Müziğin insan beyni üzerindeki etkisi bu teknikler sayesinde çok daha açık bir şekilde görülmektedir. Bir diğer boyut ise yetenek ilişkisi ile ilgilidir. Matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bulunacak bir ilişki eğitime büyük yenilikler getirebilir. 

MÜZİĞİN TEMELİNDEKİ MATEMATİK

Tarih boyunca pek çok matematikçi müzikle ilgilenmiştir. Bazılarımızın aklına ‘Acaba pek çok müzisyen de matematikle ilgilenmiş midir?’ gibi bir soru takılabilir. Kuşkusuz ilgilenen müzisyenler vardır ancak bir karşılaştırma yapılırsa matematikçiler çok daha öndedirler. “Müzik, iki bin yıl öncesinde matematiksel bir bilim olarak ele alınmıştır. Hatta yakın zamanlarda bile Ozanam, Saverien ve Hutton’un matematik sözlüklerinde müzik ile ilgili makaleler vardır. Bu yüzden matematikçilerin müzik ile ilgili yazmaları şaşırtıcı gelmemelidir” (Archibald,1923: 2). Asıl konumuza dönecek olursak, müzik ve matematik arasındaki ilişkinin incelenmesi eski Yunanlılara kadar uzanır. Eski Yunan’ da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür. Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır. Konfiçyüs (M.Ö. 551-478) belirli modların insanlar üzerine etkisini incelemiştir. Platon ( M.Ö. 428/7-348/7) müziği etiğin bir parçası olarak kabul etmektedir. Platon, karışıklıktan kaçınır ve basitliği savunur. Karışıklığın düzensizlik ve depresyona yol açacağını savunur. Platon, insan karakteri ile müzik arasında bir bağlantı bulmuştur. 
Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir. Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur. Antik devirde dört sesin bir arada duyulması prensibi “tetrakord” olarak adlandırılmakta ve müzik teorisinin temel kuralı olarak sayılmaktadır. Böylelikle tetrakord, 6,8,9 ve 12 ile elde edilmiştir ve ileride değineceğimiz gibi bu sayılar bize “altın oran” konusunda da oldukça ilginç örtüşmeler sunmaktadır. 
Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir. 
2/3:3/4=8/9 (5T-4T=2M ) 
Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir. 
Devam edecek olursak; 8/9.8/9=64/81 (2M+2M=3M)
Esas sesimiz “do” olsun. Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü “sol” sesini, ¾ ü “fa” sesini, 8/9 i ise “re” sesini, 64/81 i ise ” mi” sesini vermektedir.
Diğer aralıkları kısaca şöyle sıralayabiliriz;
3/4:8/9=27/32 4T-2T=3m
2:27/32=16/27 6M
2:64/82=81/128 6m
2: 8/9=9/16 7m
Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la ,si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2 oranları ile ifade edilir. 
Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da “Pythagoras koması” olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir. 1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir .
Tampere edilmiş 5 li, 7 yarım ton ile ifade edilmektedir ve buda, Pythagoras 5 lisinden daha küçük bir aralıktır. 4lü ise, 5 yarım ton ile ifade edilir ve Pythagoras 4 lüsünden daha büyüktür. 
Yapılan bazı çalışmalarda insan kulağının hala Pythagoras aralıklarını tercih ettiğini gösterse de günümüzde kullanılan tampere edilmiş sistemden vazgeçmek mümkün değildir (Reid,1995). 
Euclid (M.Ö. 300)’in çalışmaları temel olarak Pythagoras’a dayanır, ancak Pythagoras ve Euclid iki önemli konuda birbirlerinden ayrılırlar; kurulan majör dizideki Maj. 3 ‘lü ve Maj. 6’lı aralıklarda. Örneğin Do dizisinde Euclid ‘in Maj. 3’lüsü 4/5=64/80 iken, Pythagoras için bu; 64/81=8/9.8/9 dur (Archibald,1923: 10).
Estetik anlayışındaki en eski ve en yerleşik kavram, kökü Sokrates ve öncesi filozoflara uzanan oransal uyumluluk (congruentia) , oran ve sayı kavramlarıdır. (Eco, 1996: 51) . Yunan düşüncesine ‘oran’ anlayışı büyük önem taşımaktadır. Ortaçağ filozoflarından Boethius ta müzik kuramıyla ilişkili olarak bir oransal ilişkiler öğretisi geliştirerek,oran felsefesini başlangıçtaki Pythagoasçı biçimi ile Ortaçağ’a aktarır. (Eco,1996: 53). Aritmetik, geometri ve müzik ile ilgili çalışmaları vardır. Boethius için müzik matematiksel bir bilimdir. 
Müzikte önemli olan bir başka isim Fibonacci’dir. Leonardo Fibonacci (1175-1240) bir İtalyan matematikçisidir. Matematik biliminde önemli çalışmaları olmuştur. Ancak ençok “tavşan çiftliği” problemi ile meşhur olmuştur. Probleme göre; bir çift tavşan var ve bir ay geçtikten sonra her yeni çift tavşan bir çift tavşan doğuruyor. Her yeni doğan çift ikinci ay birer çift tavşan doğurur ve bu böylece devam eder. Kaç ay sonra kaç çift tavşan olur. Sonuçta karşımıza şu şekilde bir seri çıkar;
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987…
Seriye bakacak olursak, son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir. Burada bizim için önemli olan orandır. Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398……Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde “altın oran” veya “mükemmel oran” olarak kullanılmıştır. 

Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş bir [AB] doğru parçası düşünelim. Tüm doğru parçasının büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir. 

Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakord u oluşturan 6, 8, 9, ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak, 
(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu, oldukça ilginç bir örtüşmedir.
Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür. 

Bella Bartok, altın oranı kullanan bestecilerdendir. “Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır” (Aktarma Gönen, 1998: 13). “Music for strings, percussion and celeste” parçasının ilk bölümünde en önemli kısım, 89 ölçünün 55. ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998).

Bu konuda yaygın olarak bilinen bir parça Haendel’in “Hallelujah” eseridir. Bu eserde toplam 94 ölçü vardır. En önemli kısımlardan birisi; solo trompetlerin girişi “Kings of kings”, 57. ve 58. ölçülerde başlamaktadır. Yani 94 ölçünün 8/13 inde. 94. 8/13=~58. İlk 57 ölçünün 8/13 inde ise (ki bu da 34. ölçüdür) “The Kingdom of Glory…”teması başlamaktadır. İkinci 37. ölçüsünün 8/13 ünde ise (yani 79. ölçüde) “And he shall reign…. ” tekrar solo trompetlerin görüldüğü önemli bir bölüm gelmektedir. Haendel’in bu kompozisyonu yazarken ne düşündüğünü bilmiyoruz ama en azından bu örnek, müzikte altın oranın kullanılabileceğini bize göstermektedir (Beer, 1998:8).

Mozart’ında altın oranı kullanıp kullanmadığına dair çeşitli görüşler vardır. John F.Putz’a göre Mozart’ın eserleri bir dahi işidir ve sayılarla oynamayı seven birisinin işidir. O’na göre Mozart altın oranı biliyordu ve eserlerinde kullanmıştır (May, 1996). 

19. yy. da J. Fourier, müzikal serinin niteliğini incelemiştir. “Fourier, müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadeler ile tanımlanabileceğini ve bununda periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.”(Matematik Dünyası, 1995:7) Ünlü Matematikçi Leibniz, “Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir” demiştir. 

Euler, seslerin düzgün salınımı prensibine dayanan tampere sistemi temel olarak yanlış bulmakta ve yetenekli icracı için tercih edilemez olduğu görüşünü savunmaktadır. Bu doğrultuda yeni bir ses sistemi geliştirmiştir. Ancak Euler sistemi müzisyenlere fazla matematiksel, matematikçilere ise fazla müzikal gelmiştir. Euler yerine koyma adı verilen bu teoriyi, sesi algılayan kişinin fiziksel koşullara göre algılaması gerektiğinden farklı olarak neleri algıladığı ve hangi etkilere maruz kaldığı sorularına yanıt ararken geliştirmiştir. Bu bir tür “deneme teorisi” dir. ( Gönen, 1998:13) 

MÜZİĞİN MATEMATİK EĞİTİMİNE KATKISI

Müzik çok etkin bir eğitim aracıdır. Sadece matematik için değil birçok alanda çok etkili bir araç olarak eğitimde kullanılmaktadır. Müzik pek çok insan için bir eğlence kaynağıdır. Duyguları harekete geçirir. Müzik dinlemek, bir enstrüman çalmak, dans etmek bize büyük zevk verir . Müzik özellikle çocuklarda duygusal, sosyal,. fiziksel ve bilişsel açıdan çok etkilidir. Müzik beynimizi harekete geçirir. Bu yüzden müzik, daha iyi beyin faaliyetleri için araç olarak kullanılabilir. Yapılan pek çok araştırmada görülmüştür ki; pek çok çeşitli becerinin müzik ile öğretimi çok daha etkilidir. 
Dünyanın değişik yerlerinde matematik eğitimi ile ilgili yapılan pek çok araştırmada, verilen eğitimin yeterli olmadığı, yeni yaklaşımlar üzerinde çalışılması gerektiği yönünde sonuçlar ortaya çıkmaktadır. Matematik pek çok ülkede eğitim açısından en sıkıntılı derstir. Buna önyargılar, yetersiz altyapı, yetersiz imkanlar gibi pek çok sebep sayılabilir. Ancak sonuçta şu konuda hemen herkes birleşmektedir ki; matematik eğitiminde yeni yaklaşımlara ihtiyaç vardır. Müzik, özellikle okul öncesi dönemde çok daha etkin bir öğretim aracı olarak kullanılabilir. Okul öncesi dönemde verilecek temel matematiksel kavramlar müzik ile çok daha etkin bir şekilde verilebilir Okul öncesi dönem, çocukların yeteneklerini ortaya çıkartmak ve yönlendirmek açısından büyük önem taşımaktadır. Matematiğin ve müziğin temeli bu dönemde atılmalıdır.


Araştırmacılar küçük çocuklarda, ileri matematik çalışmaları yapılamayacağı fakat onlara çok hoşlanacakları için müzik dinletmenin de yüksek beyin fonksiyonlarını sağlayacağını düşünmektedirler. Shaw (2000) çocuğa, tercihen okulöncesi dönemden başlayarak, okullarda verilen müzik eğitiminin onun uzamsal temporal akıl yürütmesini, dolayısı ile de ileride matematik performansını olumlu etkileyeceğini ifade etmektedir. Daha kalıcı bir beyin gelişimi için çocuklarda uzun yıllar piyano eğitimi uygulamasını da önermektedir (Shaw,2000:32,22)
Müzik ile bilişsel aktivitelerin gelişimi konusunda yıllardır çeşitli araştırmalar yapılmıştır. Ancak medya tarafından ençok ilgi gören araştırma 1993’te “Mozart Etkisi” (Mozart Effect) olarak duyurulmuş ve çok dikkat çekmiştir. Araştırma Frances Rauscher tarafından yürütülmüştür. Amerika’da Psikoloji bölümünde okuyan 38 öğrenciye 10 dakika süre ile Mozart’ın iki piyano için yazdığı Re Maj. Piyano Sonatı (K.V.448) dinlettirilmiştir. Daha sonra öğrencilere üç boyutlu düşünme testi uygulanmıştır. Sonuçta, kontrol grubuna kıyasla Mozart dinleyen gruptan 8-9 puan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir. Müzik ile üç boyutlu düşünme arasındaki ilişki o dönemde ortaya atılmıştır. Sonuçlar açıklandıktan sonra araştırmacılardan birisi olan teorik fizikçi Gordon Shaw Mozart müziğinin beyne jimnastik yaptırdığını öne sürmüştür ve şöyle demiştir : ” Karmaşık yapılı müziğin matematik ve satranç gibi ileri düzey beyin etkinlikleri ile ilgisi olan belli karmaşık sinirsel örgütler arasındaki iletişimi kolaylaştırdığına inanıyoruz. Bunun aksine basit ve tekrara dayanan müziğin karşıt bir etki yapabileceğini düşünüyoruz. ” (Campbell,2002: 25-26).
Yapılan çeşitli Mozart Etkisi çalışmalarının yanında fareler üzerine yapılan bir çalışma ilginçtir. Farelere uzun süre Mozart müziği dinlettirilmiş ve labirent çözmede daha başarılı oldukları gözlemlenmiştir. Farelerin öğrenme düzeylerindeki artış müzik kesildikten 4 saat sonrasına kadar etkili olmuştur. (Shaw 2000.:36)


1996 yılında Avustralya’da yapılan bir çalışmada okul öncesi dönemi çocuklara 10 ay boyunca haftada 1 saat müzik eğitimi verilmiştir. Verilen eğitimin matematik yetenekleri üzerindeki etkisi incelenmiştir. Çocukların Matematik Yetenekleri Test of Early Mathematics Ability (TEMA-2) ile değerlendirilmiştir. Sonuçta müzik eğitimi alan gruptan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir. (Geoghegan&Mitchelmore, 1996).
2000 yılında Bilhartz, Bruhn ve Olson tarafından erken müzik eğitiminin çocuğun bilişsel gelişimine etkisi isimli bir araştırma yürütülmüştür. Araştırmada 4 ila 6 yaş arası 71 çocukla çalışılmıştır. Çocuklar bilişsel gelişim için “Stanford-Binet Intelligence Scale (SB)” testinin dördüncü edisyonu ile ve müzik için “Young Child Music Skills Assessment(MSA)” testi ile değerlendirilmiştir. Deney grubu 30 hafta süresince, haftada 75 dakika, ebeveyn katılımlı müzik programına tabi tutulmuştur. Müzik programına katılan çocuklardan daha yüksek sonuçlar elde edilmiştir (Bilhartz&Bruhn&Olson, 2000: 615).
Los Angeles’ta yapılan bir çalışmada 135 öğrenciye 4 ay boyunca piyano eğitimi verilmiş ve eğitim verilmeyen gruba göre matematik puanlarında %27 oranında artış görülmüştür (AMC, 2004).
Yetenek açısından düşünecek olursak; pek çok kişi matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bir ilişki olamadığını varsaymaktadır. Matematik yeteneği olan çocuklar genellikle müzikle uğraşmaktan alıkoyulmazlar. Hatta bu çoğu zaman desteklenir. Ancak müzik yeteneği keşfedilen çocuklar için durum daha farklıdır. Bu çocuklar çoğu zaman müzikal açıdan desteklenmekte ancak bilişsel açıdan köreltilmektedir. Bu çocukların matematik yetenekleri çoğu zaman yok sayılmaktadır veya önemsenmemektedir. Oysa teknoloji çağı olan günümüzde “matematik mantığı” artık büyük önem kazanmıştır. Bilişsel açıdan eksik donanım ile mesleğe başlayan müzisyenler çoğu zaman bu eksikliği ilerleyen meslek hayatlarında hissetmektedirler. 
Sergeant ve Thatcher (1974), zeka ve müzikal yetenekle ilgili üç çalışma yapmıştır. Sonuçları istatistiksel tekniklerle yorumlamışlardır ve şu sonuca varmışlardır; Tüm yüksek zekalı insanlar mutlaka müzikal değiller, fakat tüm müzikalitesi yüksek insanlar yüksek zekalıdır. Bu şekilde bakıldığında akademik zekanın müzikal başarı ile ilişkilendirilmesi şaşırtıcı değildir. Bu noktadan bakıldığı zaman; zeki çocukları, eğer müziğe ilgileri varsa, potansiyel müzisyen olarak görebiliriz (Boyle&Radocy, 1987: 142).
2001 yılında yapılan araştırmada 8 yaş grubundaki çocukların Matematik yetenekleri, müzik yetenekleri ve soyut zekaları arasındaki ilişki istatistiksel açıdan incelenmiştir. Toplam 75 çocuğa Müzik yetenek testi, Matematik yetenek testi ve Soyut zeka belirleyici test uygulanmıştır. Öğrencilerin Müzik Yetenekleri ve Matematik Yetenekleri arasında 0,423 lük bir ilişki bulunmuştur ve bu ilişki katsayısı istatistiksel açıdan 0,01 düzeyinde anlamlıdır.Yani, öğrencinin Müzik yeteneği yükseldikçe matematik yeteneği artmaktadır. Müzik Yeteneği ile Soyut Zeka arasında ise 0,295 lik bir ilişki bulunmuştur ve bu istatistiksel açıdan 0,01 düzeyinde anlamlıdır. Öğrencinin müzik yeteneği arttıkça Soyut Zekası da artmaktadır. Sonuç olarak her iki değişkende (Matematik Yeteneği ve Soyut Zeka Seviyesi) , Müzik Yeteneği ile ilişkilendirildiğinde anlamlı bir farklılık göstermiştir. Matematik Yeteneği ve Soyut Zeka karşılaştırıldığında ise en yüksek etkinin Matematik Yeteneğinde olduğu görülmektedir. Dolayısı ile, Matematik Yeteneği ile Müzik Yeteneği arasında oldukça anlamlı bir ilişki vardır. (Karşal,2004) 

SONUÇ

Matematik ve müzik pek çok açıdan birbiri ile ilişkili iki disiplindir. Antik çağlardan itibaren bu ilişki fark edilmiş ve pek çok matematikçinin ve düşünürün ilgisini çekmiştir. Bilimin ve sanatın temsilcileri sayılan bu iki disiplinin birbiri ile olan ilişkisinin etkin kullanımı günümüzde pek çok açıdan olumlu sonuçlar doğurabilir. 

Müzik, özellikle okul öncesi dönemi çocuklarında etkili bir eğitim aracı olarak kullanılabilir. Bu dönemde çocukların alacakları temel matematik eğitimi ve temel müzik eğitimi “doğru” verildiği taktirde, çocukların önlerindeki ufuk bir hayli genişleyecektir. Sadece okul öncesi dönemde değil sonraki dönemlerde de gerek müzik dinlemenin gerek enstrüman çalmanın kişilerin bilişsel aktivitelerine kattığı olumlu etki pek çok araştırmanın konusudur ve küçümsenemeyecek kadar önemlidir. 

Ülkemizde müzik eğitimi verilen kurumlarda, özellikle küçük yaşta eğitime başlayan okullarda, çocuklar bilişsel açıdan oldukça yetersiz yetiştirilmektedirler. Müzik yeteneği olan çocukların bilişsel gelişimleri, eğitim sistemi içerisinde, bilerek veya bilmeden genellikle engellenmektedir. Günümüz teknoloji çağıdır. Her alanda olduğu gibi müzikte de teknoloji her geçen gün ilerleyerek kullanılmaktadır. Müzisyenlerdeki matematik mantığı artık daha çok önem kazanmaktadır. Tüm bunların yanı sıra, bilişsel açıdan daha ileri çocuklar müziği de çok daha kolay algılayabilmekte ve ilerleyebilmektedir. Bu iki disiplinin yetenek anlamında da ilişkili olduğu düşünülürse müzikalitesi yüksek olan çocukların zihinsel kapasitelerinin çok daha ileri olduğu unutulmamalıdır. 

Yrd. Doç. Dr. Ece KARŞAL
Marmara Üniversitesi Güzel Sanatlar Fakültesi Müzik Bölümü Öğretim Üyesi

sonraki yazı Ritim, Ölçü, Ahenk: Müzik ve Matematik

Müziğin İçindeki Matematik

Sanat ve bilim genellikle birbirinden ayrı tutulan iki alandır. Matematik ve müzik, bilimin ve sanatın iki elemanıdır. Matematik “doğru” olan, müzik ise “güzel” olandır. Matematikte teoriler değişik yaklaşımlarla ispatlanabilir.  Matematikçiler bu ispatlarda “güzel” i yakalamayı amaçlarlar. Öte yandan müzikte “doğru” yu bulmak daha zordur, “güzel” ise zaten müziğin doğasında vardır. Matematikte “doğru” dan sonra akla gelen “güzel”, müzikte bunun tam tersi olarak karşımıza çıkar.

Her iki disiplini de anlayabilmek için belirli bir bilgi birikimine ihtiyaç vardır. Ancak  müzik bir açıdan daha şanslıdır.  Hemen herkes az veya çok müzikten anlar ve zevk alır.  Ancak matematik böyle midir?

Bu  iki disiplin antik devirlerden itibaren karşılaştırılmış ve ilişkilendirilmiştir.  Her ikisinde de estetik vardır. Her ikisinde de evrensel bir dil vardır. Her ikisinde de bir stil vardır. Bir müzisyen Bach’ı nasıl ilk melodilerinden anlayabiliyorsa, bir matematikçi de Gauss’u  ilk satırlardan fark edebilir.

Tarih boyunca pek çok matematikçi müzikle ilgilenmiştir. Bazılarımızın aklına ‘Acaba pek çok müzisyen de matematikle ilgilenmiş midir?’ gibi bir soru takılabilir. Kuşkusuz ilgilenen müzisyenler vardır ancak bir karşılaştırma yapılırsa matematikçiler çok daha öndedirler.

Eski Yunan’ da müzik, matematiğin 4 ana dalından biri olarak kabul edilmiştir. Pythagoras (M.Ö. 586) okulunun (Quadrivium) programına göre Müzik; Aritmetik, Geometri ve Astronomi ile aynı düzeyde kabul görmüştür.

Bir telin değişik boyları ile değişik sesler elde edildiğini ortaya çıkartan Pyhagoras, M.Ö. 6. yüzyılda yaşamıştır ve bugün kullanılmakta olan müzikal dizinin temelini oluşturması açısından oldukça önemli bir iş yapmıştır.

Pythagoras, 12 birimlik bir teli ikiye bölmüş ve oktavı elde etmiştir.  Elde edilen 6 birimlik uzunluk ( telin ½ si), 12 birimlik uzunluğun bir oktav tizidir. Pythagoras 8 birimlik uzunluk ile (telin 2/3 ü) 5 li aralığı, 9 birimlik uzunluk ile (telin ¾ ü) 4 lü aralığı bulmuştur.

Pythagoras oranlarına göre, 5 li ile 4 lü arasındaki fark tam tonu vermektedir.

2/3:3/4=8/9  (5T-4T=2M ) Yani, tam sesin 8/9 ile çarpımı bize o sesin bir ton tizini vermektedir.

Devam edecek olursak;  8/9.8/9=64/81  (2M+2M=3M)

Esas sesimiz “do” olsun.  Do nun ½ si bize do nun bir oktav tizini, 2/3 ü “sol” sesini, ¾ ü “fa” sesini, 8/9 i ise “re” sesini, 64/81 i ise ” mi” sesini vermektedir.

Bu şekilde gidildiği zaman; Do, re, mi, fa, sol, la, si, do sesleri sırasıyla; 1, 8/9, 64/81, ¾, 2/3, 16/27, 128/243 ve 1/2  oranları ile ifade edilir.

Pythagoras, telin 8/9 u ile 1 tam tonu elde etmiştir, ancak bir notaya 6 kez tam ton ilave edildiğinde neredeyse o notanın oktavı elde edilmiştir ki bu da “Pythagoras koması” olarak adlandırılır. Bu durumda Pythagoras sisteminde bazı değişikliklere gerek duyulmuş ve böylece zaman içinde tampere edilmiş bir şekilde 12 eşit yarım tonluk bir sistem geliştirilmiştir.  1 tam ton 8/9 ile değil iki yarım ton ile gösterilmiştir.

Müzikte önemli olan bir başka isim matematikçi Fibonacci’dir. Onun meşhur tavşan çiftliği problemini hatırlayanlar 1,  1,  2,  3,  5,  8,  13,  21,  34,  55,  89,  144,  233,  377,  610,  987… sayı dizisini bilirler. Seriye bakacak olursak,  son iki sayının toplamı bize bir sonraki sayıyı vermektedir. Dikkat edilecek olursa iki ardışık sayının oranı (küçük sayının büyük sayıya oranı) aynı sayıya yakınsamaktadır. 0, 61803398…

Bu oran resimde, mimaride, ve müzikte çeşitli dönemlerde “altın oran”  veya “mükemmel oran” olarak kullanılmıştır.

Altın oranı geometrik olarak ifade edecek olursak, ikiye bölünmüş bir [AB] doğru parçası düşünelim.   Tüm doğru parçasının  büyük parçaya oranının, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşitliği bize altın oranı vermektedir.

Pythagoras aralıklarından bahsederken tetrakordu oluşturan 6,  8,  9,  ve 12 birimlik tellerden bahsetmiştik. Şimdi bu aralıkları altın orana uygulayacak olursak,

(12-8) : (8-6) = 12: 6 oranının altın oran olduğunu görürüz. Bu,  oldukça ilginç bir örtüşmedir.

Müzikte yapılan çeşitli çalışmalarda altın oranın kompozisyonlarda melodik, ritmik veya dinamik olarak belirli bir orana göre oluşturulduğu görülmüştür.

Bella Bartok,  altın oranı kullanan bestecilerdendir. “Bartok, Fibonnacci sayıları ile bir dizi oluşturmuş ve bu dizinin elemanlarını bestelerinde kullanmıştır” (Aktarma Gönen, 1998: 13). “Music for strings,  percussion and celeste”  parçasının ilk bölümünde en önemli kısım, 89 ölçünün 55.  ölçüsünde kullanılmıştır (Rustin, 1998).

Mozart’ında altın oranı kullanıp kullanmadığına dair çeşitli görüşler vardır. John F.Putz’a göre  Mozart’ın eserleri bir dahi işidir ve sayılarla oynamayı seven birisinin işidir. O’na göre Mozart altın oranı biliyordu ve eserlerinde kullanmıştır (May, 1996)

19. yy.  da J. Fourier,  müzikal serinin niteliğini incelemiştir. “Fourier,  müzik aleti ve insandan çıkan bütün müzikal seslerin matematiksel ifadeler ile tanımlanabileceğini ve bununda periyodik sinüs fonksiyonları ile olabileceğini ispatlamıştır.”(Matematik Dünyası, 1995:7)

Ünlü matematikçi Leibniz,  “Müzik ruhun gizli bir matematiksel problemidir” demiştir.

Müzik pek çok insan için bir “eğlence kaynağı”, matematik ise pek çok insan için bir “baş belası” iken, müziğin matematik eğitimi üzerindeki olumlu etkilerini kullanmak oldukça akılcı bir davranış olacaktır. Bir diğer boyut ise nörolojik çalışmalar ile ilgilidir. Son yıllarda teknolojinin de hız kazanması ile birlikte insan beyni çeşitli tekniklerle incelenir duruma gelmiştir. Müziğin insan beyni üzerindeki etkisi bu teknikler sayesinde çok daha açık bir şekilde görülmektedir. Bir diğer  boyut ise yetenek ilişkisi ile ilgilidir. Matematik yeteneği ve müzik yeteneği arasında bulunacak bir ilişki eğitime büyük yenilikler getirebilir.

Prof. Dr. Ece Karşal 

sonraki yazı Matematik ve Müzik

Matematik ve Astronomi geleneğinin temsilcisi

On beşinci yüzyılda yaşamış olan önemli bir astronomi ve matematik bilginidir. Babası Timur’un torunu olan Uluğ Bey’in doğancı başısı idi. “Kuşçu” lâkabı buradan gelmektedir. Ali Kuşçu, Semerkand’da doğmuş ve burada yetişmiştir. Burada bulunduğu sıralarda, Uluğ Bey de dâhil olmak üzere, Kadızâde-i Rûmî (1337-1420) ve Gıyâsüddin Cemşid el-Kâşî gibi dönemin önemli bilim adamlarından matematik ve astronomi dersleri almıştır.

Alaeddin İbn Muhammed el-Kuşçu olarak bilinen Kuşçuzâde Alâüddîn Ebû el-Kâsım Ali İbn Muhammed, XV. yüzyılın başlarında Maveraünnehir bölgesinde Semerkand‘da doğdu. Babası Muhammed doğan besliyordu, Uluğ Bey‘in (1394-1449doğancısı olduğu için önce Kuşçuzâde, sonradan da Kuşçu lakabıyla tanınmıştır. Eğitiminin önemli bir kısmı Uluğ Bey‘in sarayında ve onun yakın çevresinde geçti. Uluğ Bey’den, Gıyâsüddîn el-Kâşî‘den, Kadızâde-i Rûmî‘den ve Uluğ Bey’in etrafındaki diğer bilim insanlarından matematik ve astronomi dersleri aldı. Uluğ Bey ondan “faziletli oğlum” diye bahseder. Ali Kuşçu Semerkand‘da tahsilini tamamladıktan sonra, söylentiye göre gizlice Kirman‘a gitmiş ve oradaki bilim ve düşün insanlarından dersler almıştır.

BİLİMSEL KİMLİĞİNDEN DOLAYI BÜYÜK İLGİ GÖSTERİLDİ

Kirman’da kaldığı sürede içlerinde Nasîrüddîn-i Tûsî‘nin Tecrîd el-Kelâm adlı eserinin de bulunduğu birçok kitabı okuma ve inceleme fırsatı buldu. Tûsî’nin kitabı üzerine hazırladığı ilk kelam çalışması olan Şerh el-Tecrîd (Tecrîd Üzerine) eserini de burada yazmış ve Ebû Sâid Bahâdır Han‘a takdim etmiştir. Ali Kuşçu burada kaleme aldığı bir diğer çalışması olan Risale Hall el-Eşkâl el-Kamer‘i de (Ay’ın Görünümleri Üzerine) Semerkand’a döndüğünde Uluğ Bey’e takdim etmiş ve takdirini kazanmıştır. Ayrıca Risâle der İlm-i Hey‘e (Astronomi Risalesi) ve Risâle der İlm-i Hisâb (Aritmetik Risalesi) adlı Farsça iki makale daha yazmıştır.

1449 yılında Uluğ Bey’in öldürülmesinden sonra başlayan taht kavgaları Semerkand’ı yaşanmaz hale getirince, Ali Kuşçu da, ailesiyle birlikte Timurluların sarayından ayrılarak Akkoyunlu hükümdarı Uzun Hasan yönetimindeki Tebriz‘e gitmiştir. Uzun Hasan bilime ve bilim insanlarına değer veren bir hükümdardı. Ali Kuşçu’ya bilimsel kimliğinden dolayı büyük ilgi gösterdi ve aralarındaki anlaşmazlığı çözmesi için Fatih Sultan Mehmed‘e elçi olarak gönderdi.

ALİ KUŞÇU’NUN BİLGİSİNE HAYRAN OLAN FATİH

Kendisine İstanbul’da çalışmasını teklif etti. Ali Kuşçu da elçilik görevini tamamladıktan sonra İstanbul’a dönmeye söz verdi. Elçilik görevini tamamlayan Ali Kuşçu İstanbul’a döndü. Fatih Sultan Mehmed, yolculuğu boyunca kendisine refakat etmesi için bir heyet gönderdi ve

İstanbul’da büyük törenlerle, armağanlarla karşılanmasını sağladı.

Karşılayanlar arasında İstanbul kadısı Hocazâde de vardı. Fatih Sultan Mehmed, huzuruna kabul ettiğinde Ali Kuşçu’ya Hocazâde’yi nasıl bulduğunu sormuş, o da “Acem’de Rum’da benzeri yok” deyince Fatih de “Arap’ta da benzeri yoktur” demiştir.

Ali Kuşçu İstanbul’da daha önce Farsça hazırladığı Risâle der İlm-i Hisâb adlı çalışmasını genişleterek Arapça bir redaksiyonunu yapmış ve Muhammediye adıyla Fatih’e sunmuştur. Matematik alanındaki bu önemli çalışmasının ardından, Risâle der İlm-i Hey’e adlı çalışmasının da Arapça, genişletilmiş redaksiyonunu hazırlamış ve Fatih’in Uzun Hasan ile gerçekleştirdiği Otlukbeli Savaşı‘nın (11 Ağustos 1473) kazanıldığı gün Fethiye adıyla Fatih’e sunmuştur. Fatih Sultan Mehmed, savaş dönüşü Ali Kuşçu’yu Ayasofya Medresesi’ne müderris tayin etti. Bu tayin İstanbul’da astronomi ve matematik alanındaki çalışmalara canlılık getirmiş, hatta Ali Kuşçu’nun derslerini bilim insanları dahi takip etmiştir. Ali Kuşçu ayrıca Molla Hüsrev‘le birlikte Semâniye Medreselerinin programını hazırlamış, İstanbul’un boylamını 59derece, enlemini de 41 derece 14 dakika olarak belirlemiştir.

Astronomi çalışmalarında kullandığı Güneş saati Fâtih Camisi‘ndedir. Ali Kuşçu 15 Aralık 1474’te İstanbul’da öldü. Yetiştirdiği öğrenciler arasında Osmanlı bilim tarihinin iki önemli ismi Mîrim Çelebi ve Molla Lütfî de vardır.

MATEMATİK ALANINDA EN TANINAN ESER

Ali Kuşçu’nun matematik alanında en tanınan eseri Muhammediye‘dir ve Osmanlılarda en fazla ilgi gören hesap kitabı olma özelliğini taşımaktadır. Kitap iki bölüm (fen)

olarak düzenlenmiştir, birinci bölüm aritmetiğeikincisi ise arazi ölçümü konusuna ayrılmıştır.

Birinci bölüm bir giriş ve beş makaleden oluşmaktadır. Hint hesabı (Onluk Dizge) konusuyla ilgili olan birinci makale üç alt bölümden oluşmaktadır. Birincisi rakamların biçimleri

ve dizilimi, ikincisi tam sayılarla hesap, üçüncüsü ise kesirli sayılarla hesap konusundadır. Ali Kuşçu bu konuları çok yalın ve anlaşılır bir şekilde ele alıp açıklamıştır. Açıklayıcı özelliği yüksek olduğundan uzun yıllar medreselerde ders kitabı olarak okutulmuştur.

İkinci makale, müneccim hesabı (Altmışlık Dizge) konusundadır ve burada da bir sayının iki katını alma, toplama, çarpma, çıkarma, karekök hesaplama ve aritmetiğin önemli bir konusu olan sağlama ele alınmıştır.

ASTRONOMİ VE MATEMATİKSEL COĞRAFYA DA UZUN YILLAR OTORİTE

Ali Kuşçu aritmetikte olduğu gibi astronomi ve matematiksel coğrafya konusunda da uzun yıllar otorite olmuştur. Bu konuda kaleme aldığı eseri Fethiye, hem ders kitabı olarak yaygınlaşmış, hem de üzerine birçok bilim insanı tarafından yorum ve açıklama yazılmıştır.

Kitap bir giriş ve üç makale olarak düzenlenmiştir. Birinci makale gezegenlerin konumları ve dizilimleri üzerinedir. Burada kürelerin sayısı, gezegenlerin enlemselboylamsal ve hem enlemsel hem de boylamsalhareketleri incelenmektedir.

İkinci makale Yer’in biçimi, iklimlere bölünüşü ve göksel olgulara ilişkindir. Burada ayrıca ekvatorunözellikleri, enlemi 90 derece olan bölgelerin özellikleri, günler, gece ve gündüz uzunlukları, ekliptik yayın ufuktan yükselişi, gezegenlerin meridyenden geçiş, doğuş ve batış dereceleri gibi konular incelenmektedir.

Üçüncü makale uzaklık ve büyüklük miktarlarına ilişkindir ve Yer’in büyüklüğü, Ay’ın evrenin merkezine olan uzaklığının Yer’in yarıçapı cinsinden bilinmesi, Ay’ın ve Güneş’in çapının bilinmesi gibi konular hakkındadır.

Fethiye’nin ilginç bölümlerinden biri de evren sisteminin betimlendiği bölümdür. Birinci makalenin birinci bölümünde evreni oluşturan kürelerin sayısı ve nasıl sıralandıkları anlatılmaktadır. Ali Kuşçu evrende dokuz küre bulunduğunu, bunların birbirlerini çevrelediğini belirterek, en dışta kürelerin küresinin (felek el-eflak) yer aldığını, sonra sırasıyla SatürnJüpiterMarsGüneşVenüsMerkür ve Ay küresinin dizildiğini ileri sürmektedir.

Konuyla ilintili olması dolayısıyla, boylamsal ve enlemsel hareketler ile dışmerkezli ve çembermerkezli düzenekler hakkında da bilgi vermiştir. Yer’in şekli ve iklimlere bölünmesi konularını da irdeleyen Ali Kuşçu, gezegenlerin büyüklük ve uzaklıklarını da ele almış, konuyu açıklayabilmek için gerekli daire çevresi ve alanı, küre yüzeyi ve hacmi, birbiri ile orantılı dört miktardan bilinmeyen miktarın nasıl hesaplanacağı, üçgenlerin kenarları ve açıları arasındaki oranlar gibi matematiksel bilgiler vermiştir.

Ali Kuşçu bu bölümlerde, yer yarıçapını birim kabul ederek, her gezegenin en uzak mesafesinin altında bulunan gezegenin en yakın mesafesine eşit olacak biçimde ve gezegen kürelerinin yarıçaplarının bir listesini vermektedir. Ali Kuşçu’nun her gezegen için verdiği en uzak ve en yakın mesafe toplanıp ikiye bölündüğünde, gezegenlerin evrenin merkezine, yani Yer’e ortalama uzaklıkları yaklaşık olarak elde edilir.

İSTANBUL’A GELİŞİYLE BAŞLATTIĞI YENİ BİLİM GELENEĞİ

Ali Kuşçu, Maveraünnehir‘de gelişen matematik ve astronomi geleneğinin temsilcisi olarak İstanbul‘a gelmişti. Aslında bu Osmanlı bilim tarihi açısından önemli bir olaydır. Çünkü o tarihlerde İstanbul’da Ali Kuşçu ayarında astronomi bilgini yoktu. İstanbul’a gelişiyle başlattığı yeni bilim geleneği, hem Maveraünnehir bilim geleneğinin

stanbul’a taşınmasını sağlamış hem de astronomi biliminin Osmanlılarda yayılmasına neden olmuştur. Diğer taraftan, eserleriyle de çok sayıda medrese öğrencisini etkileyerek birçok önemli bilginin yetişmesine yardımcı olmuş, Osmanlı dünyasında matematik ve astronomi bilimlerinin temellerini atmıştır. Ali Kuşçu, Molla Hüsrev ile birlikte Fatih Medreseleri‘nin programlarını hazırlamıştır.

Burada dikkat çekilmesi gereken nokta, bu medreselerin çerçevesini çizen vakfiyede, dini bilimlerin yanı sıra pozitif bilimlerin de okutulmasının şarta bağlanmış olmasıdır.

sonraki yazı